El Wronskiano

El Wronskiano

En matemática el Wronskiano es un determinante introducido por Jósef Hoene-Wronski (1821) y nombrado por Thomas Muir (1882). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales que a veces puede utilizarse para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Peano con wronskiano: Una traducción

En 1882, Thomas Muir escribió el siguiente pasaje en su “Tratado sobre la teoría de los determinantes” dando la definición de la wronskiano que conocemos hoy.

Este pasaje fue realmente la primera vez que alguien había llamado estas matrices Wronskianas , Jósef María Hoene-Wronski . Muir continua.

Obviamente, matemáticos aceptan sugerencia de Muir con celo, como lo demuestra el hecho de que seguimos asociando el nombre de wronski con estos determinantes hoy. Gran cantidad de estudiante ve el wronskiano en una clase de ecuaciones diferenciales durante el debate de los conjuntos de soluciones fundamentales.

Aprendemos del álgebra lineal básica que si las funciones y1, y2, …yn son linealmente dependiente, entonces el determinante del wronskiano será cero. Sin embargo, como señaló Bostan y Dumas, si se abre cualquier texto moderno en ecuaciones diferenciales, uno encontraría la siguiente advertencia”las funciones linealmente independiente pueden tener un wronskiano igual a cero”.

La historia con respecto a esta advertencia es interesante. Durante años, respetados matemáticos daban por cierta, e incluso daban pruebas, que un wronskiano cero, implicaba dependencia lineal.

La primera persona en darse cuenta de que esto no era cierto parece haber sido Giuseppe Peano, pero incluso después de dar un contraejemplo elemental, las personas tenían dificultades para entender la sutileza de la situación, al igual que nuestros estudiantes suelen hacer.

Mark Krusemeyer explicó,” esta advertencia fue dada por primera vez por Peano…; que en realidad tenía que dar dos advertencia, porque el editor había agrega una nota equivocada que contradice la primera advertencia de Peano”.

A continuación presentamos una traducción y análisis de estas dos notas de Peano, la nota equivocada agregada por el editor.

En determinante Wronskiano

Peano abrió su primer artículo, Sur le déterminant wronskien, citando una afirmación que la mayoría de nuestros estudiantes asumen como verdad y, al parecer la mayoría de los matemático lo hacían hasta 1889.

“Si el determinante formado con n funciones de la misma variable y, sus derivadas de ordenes 1,…(n-1) es igual a cero, entre estas funciones hay una relación lineal homogénea con coeficientes constantes”.

Hoy, diríamos que estas funciones son linealmente dependientes.

Es cierto que si las funciones son linealmente dependientes, su wronskiano es cero. Para ver esto, considere y1 = c2y2 +…+ cnyn por la linealidad del diferencial todas las derivadas de y1, y2,…,yn deben obedecer a la misma relación. Esto significa que toda la primera columna del wronskiano puede escribirse como una combinación lineal de otras columnas, lo que implica un determinante cero.

La propuesta en cuestión, entonces, afirma lo recíproco de este teorema evidente, es decir que la fuga wronskiano es suficiente para demostrar la dependencia lineal. Para refutar esta proposición Peano dio un contra ejemplo simple; presento dos funciones continuas linealmente independiente X(t) y Y(t) cada una con derivadas continuas que tienen un wronskiano cero en cada número real.

Esta formulación es demasiado general. Ofrecemos de hecho

X = t2[1+Φ(t)] , y = t2[1-Φ(t)]

Donde designa una función igual Φ(t) = 0, para t = 0, Φ(t) = 1 para t > 0 y, Φ(t) = -1 para t < 0.

Para t < 0, Φ(t) = -1 , x = 0 , y = 2t2

Para t = 0, Φ(t) = 0 , x = 0 , y = 0

Para t > 0, Φ(t) = 1 , x = 2t2, , y = 0

Las funciones x e y, y sus derivadas son continuas:

X’ = 2t[ 1 + Φ(t) ] , y’ = 2t[ 1 - Φ(t) ]

|█(x y@x^' y')| = 0

El artículo presenta una nota añadida por el editor Paúl Mansión que hace referencia al libro de texto de Mansión en el análisis. Este artículo contiene una prueba incorrecta que un cero wronsquiano, implica la dependencia lineal “un wronskiano W(r,s,t,u) es igual a cero si una de las funciones es igual a cero, o existe entre ellas una relación lineal homogénea, y viceversa”.

La segunda nota de Peano , Sur les wronskien, es un extracto de una carta de Peano para los editores. En términos muy claros, explica el problema que indica que un cero wronskiano proporciona una condición suficiente para que las ecuaciones que son linealmente dependiente.

También dio el ejemplo que vemos típicamente en un cuso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Al final de esta carta dio entender que el nunca había visto este hecho que expresó con exactitud y dio varias citas de proposiciones incorrectas publicadas.

Sobre dependencia lineal y wronskiano

1. Introducción y preliminares.

La independencia lineal de n funciones Φ1(x), . . . , Φn(x), definidas y n−1 veces derivables en un intervalo I y la relación con su wronskiano

Aparece generalmente en la literatura matemática en el contexto de las ecuaciones diferen- ciales lineales. La situación es diferente cuando las funciones Φ1(x), . . . , Φn(x) no necesa- riamente son soluciones de una ecuación diferencial lineal.

Sean Φ1(x), . . . ,Φn(x) soluciones en un intervalo I, de una ecuación diferencial lineal

y(n) + an−1(x)y(n−1) + • • • + a1(x)y(1) + a0(x)y = f(x), (1)

donde los coeficientes a0(x), . . . , an-1(x) y f(x) son funciones continuas en I. En este caso la dependencia lineal de las funciones Φ1(x), . . . , Φn(x) y su wronskiano W(Φ1, . . . , Φn)(x) están relacionados fuertemente. Quizás el teorema más conocido es el siguiente:

Teorema A: “Una condición necesaria y suficiente para que n soluciones Φ1(x), . . . , Φn(x) en un intervalo I de una ecuación diferencial (1), sean linealmente dependientes es:

W(Φ1, . . . , Φn)(x) = 0 para toda x ϵ I.

O en su versión equivalente.

Teorema B. “Una condición necesaria y suficiente para que n soluciones Φ1 (x), . . . , Φn (x) en un intervalo I de una ecuación diferencial (1), sean linealmente independientes es:

W(Φ1, . . . , Φn)(x) ≠ 0 para alguna x ϵ I

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