El estudio de algunas de las características de movimiento

Introducción

Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición.

Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.

Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene, (en vaivén) sobre una misma trayectoria.

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético.

Ejemplos de movimiento armónico simple pueden ser:

- Una lamina fija por un extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo.

- Un sistema formado por un cuerpo suspendido de un resorte.

- El movimiento de un péndulo para desplazamientos pequeños.

- Un líquido contenido en un tubo doblado en U.

- Una esferita en una superficie cóncava.

- Una cuerda tensa

Para estudiar algunas de las características relacionadas con los objetos que vibran se considera el caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin fricción.

Si el otro extremo del resorte se encuentra fijo a una pared y el punto 0 representa la posición de equilibrio del cuerpo. Al empujar una distancia A , hasta la posición B , una vez que se suelte el cuerpo empezará a oscilar regresando a su posición de equilibrio 0 , hasta alcanzar una posición extrema B' , separándose nuevamente a una distancia A del punto 0.

Período (T) Es el tiempo necesario para realizar una vibración u oscilación completa.

Frecuencia ( ) Es el número de vibraciones completas que el cuerpo efectúa por unidad de tiempo.

Elongación (x) Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado

Amplitud (A) Es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.

Posición de equilibrio Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Pulsación (w) Representa la velocidad angular del MCU auxiliar. Es una constante del M.A.S

Fase inicial (ao) Representa la posición angular de la partícula para t= 0 en el MCU auxiliar.

Fase (.t + ao ) Representa la posición angular de la partícula en el MCU auxiliar para el tiempo t.

Ecuación del movimiento armónico simple

Elongación

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

O

Y= A.sen (k.x-w.t)

Donde:

Es la elongación de la partícula.

Es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

Es la frecuencia angular

Es el tiempo.

Es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

, y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión

.

Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

Oscilados armónicos

El oscilador armónico simple es el caso más sencillo, donde únicamente se:

Considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que, la ecuación nos da la siguiente ecuación diferencial

Donde los puntos indican derivación respecto del tiempo, y es la frecuencia natural de vibración. La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma

Donde A y se obtienen imponiendo las condiciones iníciales.

Oscilador simple forzado

Decimos que un oscilador está forzado si sobre él se aplica una fuerza externa. El caso más interesante es cuando la fuerza de forzamiento es también periódica, por ejemplo sinuosidal,

for

Esta fuerza se convierte en un término inhomogéneo en la ecuación diferencial del movimiento

Y la solución general es de la forma

Conservación de energía en el movimiento armónico simple

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

Donde

A es la amplitud.

La frecuencia angular.

t+ la fase.

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