El símbolo Sumatorial

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

La sumatoria o sumatorio se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos.

La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n".

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ.

• i es el valor inicial llamado límite inferior.

• n es el valor final llamado límite superior.

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede simplificar:

Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.

La suma de las frecuencias absolutas se puede expresar como:

1.

2.

Y la media como:

1.

2.

Ejemplo

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la media.

xi fi xi • fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

Σxi = 42 Σxi • fi = 1 820

Propiedades de las sumatorias

• La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

• La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

• La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

• La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término.

• La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA

El operador productoria, también conocido como multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

Se puede definir por inducción (la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, dependiendo de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros) como sigue.

1. Se define

1. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto es el mismo que y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

para .

Se puede entonces, usar

...