El teorema del valor medio

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE ROLLE.−•

Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0, f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f '(c)= 0

Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o vértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.

En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues a " < a , b > .

PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :•

Si f(x) = 0 " x " < a , b> [constante], entonces cualquier c " < a , b > es válido pues f `(c) = 0 para todo c " < a , b >.

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Si f(xo) > 0 para algún xo "< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c " [a , b]:•

f(c) = máx. ( f(x) / x " [a , b] , pero como f(c) " f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c " a y c " b; así, c " < a , b >. Y como f satisface en < a , b > entonces f ` (c) = 0.

Si f (xo) < 0 para algún xo " < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto " " [a , b]:•

f(c) " f(xo) < 0 ! c " b ! c " < a , b >; y como f satisface en <a , b > entonces: f `(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)

entonces

NOTA.− En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a , b] es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos bruscos dentro de [a , b].

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Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan al EJE X en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones para que existan puntos " " < a , b > donde las rectas tangentes sean paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).−•

Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas:

f es continua sobre [a , b] , y f es diferenciable sobre < a , b > , entonces existe " " < a , b > tal que f ` (c)

[ó tal que: f(b) − f(a) = f ` (c) − ( b − a ) , c " < a , b >].

PRUEBA.−•

Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por

Pues vemos que g es continua sobre [a , b] y diferenciable sobre el intervalo abierto < a , b > , y además

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que g(a) = 0 = g(b). Entonces dicho teorema nos asegura que existe " " < a , b > tal que g `(c) = 0 , es decir

lo que implica que: f(b) − f(a) = f `(c).(b − a)

PROBLEMA.− Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a:•

a = −2 , b = 2•

f(a) = f(−2) = 0

f(b) = f(2) = 0

f continua en [−2, 2]

f diferenciable en <−2 , 2>

Entonces el Teorema de Rolle

implica que existe C " <−2,2>

tal que: f '(c) = 0

Y como f ` (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0. Además c = 0 se encuentra en el intervalo <−2,2>

f(x) 0 x2 + 2x , x " [0,3], a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) = 15 , f es continua en [0,3] y diferenciable en < 0,3 > , entonces el T.V.M.

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asegura que existe c " < 0,3 > tal que

Como f ` (x) = 2x + 2 = 5

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