El uso de la simetría en la vida cotidiana

S I M E T R Í A

Hace algunos años trabajé en la elaboración de la estructura de este grupo de operadores en relación con la teoría del electrón de Dirac. Posteriormente me enteré de que una buena parte de lo que había escrito aparecía en un libro que trataba sobre la superficie cuartica de Kummer.Resulta que en el aula donde imparto mis clases hay un modelo de la superficie cuàrtica de Kummer, que yo solía mirar a veces con curiosidad, preguntándome de qué podría tratarse. Lo último que podía pasárseme por la cabeza era que yo había escrito una publicación sobre su estructura.

SIR ARTHUR STANLEY EDDINGTON, The Theory of Groups

La simetría interesa en la misma medida tanto al artista como al científico; está íntimamente asociada con una admiración por la forma estructurada que es innata en el ser humano. La simetría está vinculada con muchas de las formas estructuradas más profundas de la naturaleza y hoy en día nos resulta fundamental para comprender científicamente el universo. Los principios de conservación, tales como los relativos a la energía y al impulso o al momento cinético expresan una simetría que ( según creemos nosotros ) posee la totalidad del continuo espacio- tiempo: las leyes de la física son las mismas en cualquier lugar. La mecánica cuántica de las partículas fundamentales, un mundo loco en el que un protón se puede << girar>> para dar lugar a un neutrón, y cuyas leyes han de reflejar esta posibilidad, se expresa mediante el lenguaje matemático de las simetrías. Las simetrías de los cristales no sólo sirven para clasificar sus formas, sino que determinan muchas de sus propiedades numerosas formas naturales, desde las estrellas de mar hasta las gotas de lluvia, desde los virus hasta las galaxias, poseen llamativas simetrías.

Pero ¿ qué es exactamente la simetría? Consultemos con un experto. Muchos de los más grandes matemáticos han realizado trabajos << de divulgación>> para presentar su materia ante un gran público. Felix Klein escribió varios libros de divulgación, entre los que se incluye famous problems of elementary Geometry, basados en sus conferencias de Pascua de 1894. Henri Poincarè escribió dos bestsellers sobre filosofía y metodología de la ciencia-Ciencia y método y ciencia e hipótesis-, libros que han seguido publicándose hasta hoy mismo. David Hilbert, cuando se encontraba en la cumbre de su carrera siendo el matemático más importante del mundo, hizo un programa de radio con motivo del congreso Internacional de matemáticos celebrado en París en 1900. Hilbert siempre sostuvo que uno no entiende algo realmente si no es capaz de explicárselo al primero que se encuentra por la calle. Probablemente esto sea llevar las cosas un poco demasiado lejos, pero aclara cuál era el modo de ver las cosas que tenía Hilbert.

En 1952 uno de los discípulos de Hilbert, un distinguido matemático llamado Hermann Weyl, estaba a punto de jubilarse en el institute for Advanced Study de Princeton. Continuando la tradición de su maestro, Weyl dio una serie de conferencias sobre matemáticas dirigidas al gran público. Su tema, y titulo del libro que se publicó a partir de estas conferencias, era Symmetry. Sigue siendo un clásico entre los libros de divulgación sobre este tema, y no hay libro que siga sus pasos que no haga referencia a él. Algunos de los logros más importantes de Weyl están relacionados con el profundo trasfondo

matemático que constituye el fundamento del estudio de la simetría, y sus conferencias estuvieron fuertemente influidas por sus gustos matemáticos: sin embargo, Weyl era también una autoridad en arte y filosofía , lo mismo que lo era en matemáticas y ciencia. He aquí como comenzaba su primera conferencia:

Si no me equivoco, el término simetría se utiliza en nuestro lenguaje cotidiano con dos

Significados diferentes. Por una parte simetría significa algo así como bien

proporcionado, muy equilibrado, y la palabra simetría denota además ese tipo de concordancia

de las distintas partes mediante la cual éstas se integran en un todo. La belleza está vinculada

con la simetría...La idea del equilibrio enlaza de forma natural con el segundo significado que

tiene el término simetría en estos tiempos modernos: simetría bilateral, la simetría de la

izquierda y la derecha, que es algo tan evidente en la estructura de los animales superiores,

especialmente en el cuerpo humano .Ahora bien, esta simetría bilateral es estrictamente

geométrica y, en contraposición con la vaga noción de simetría anteriormente mencionada, un

concepto absolutamente preciso.

Es este segundo, y matemático, significado de la palabra simetría el que interesaba a Weyl en su obra profesional, aunque, como persona intelectualmente sensible, no era en absoluto inmune a los encantos del primer significado. Y es precisamente la simetría en sentido matemático la cuestión que tenemos que intentar aclarar ahora, incluso en el caso de que los motivos por los que nos interesa pudieran ser principalmente estéticos. La belleza es para muchos matemáticos una fuerza motriz, pero, no obstante, les gusta ahondar bajo su superficie y hacer de ella algo preciso, aunque los resultados de sus excavaciones puedan no poseer el mismo atractivo inmediato para el resto de los miembros de la especie humana.

La humanidad tardó aproximadamente unos dos mil quinientos años en alcanzar una formulación precisa del concepto se simetría. Si contamos a partir de la época en que los geòmetras griegos realizaron los primeros descubrimientos matemáticos serios sobre dicho concepto, fundamentalmente la demostración de que existen exactamente cinco cuerpos sólidos regulares. Sólo después de aquel largo período de gestación llegó a ser el concepto de simetría algo que los científicos y matemáticos podían utilizar, en vez de limitarse a admirarlo.

HA CAMBIADO, PERO ESTÀ IGUAL

En su uso cotidiano, la simetría es una propiedad estética; sin embargo, sólo un matemático temerario se atrevería a intentar definir formalmente tal punto de vista. ¿ Existe algún concepto matemático en el que se incluyan al menos algunas de las características principales de la simetría en su sentido convencional, y que, sin embargo, pueda ser sometido a un análisis riguroso? Sí existe. Hemos preparado ya sus fundamentos al realizar el estudio de la salpicadura de leche, de forma que ahora va a ser mucho más fácil para nosotros ver lo que los matemáticos eludieron durante tanto tiempo. Para ellos la simetría no es un objeto, sino una transformación. Aunque no una transformación cualquiera: una simetría de un objeto es una transformación que deja su aspecto aparentemente igual .Decimos << aparentemente>>

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