Energía Electrostática De Una Distribución De Cargas.

Se llama energía electrostática de una distribución de carga eléctrica al trabajo que hay que realizar para trasladar esa carga desde regiones de potencial cero al lugar que ocupa en la distribución, supuesto que no hay más campo eléctrico que el que crea la carga de la propia distribución.

Ese trabajo coincide con el que realizarían las fuerzas electrostáticas de la propia distribución, si se permitiera que se dispersara su carga para volver a su situación inicial.

En lo que sigue supondremos que el medio en el que se sitúa la distribución es un dieléctrico lineal y homogéneo respecto a la permitividad Ɛ, que llena todo el espacio, y que su densidad de carga es inicialmente mula en todos sus puntos, por lo que el campo eléctrico también es inicialmente cero en todos los puntos del dieléctrico. Supondremos el origen de potenciales en el infinito.

Energía electrostática de una distribución de cargas puntuales.

Para traer una carga puntual q1 desde el infinito a un punto cuyo vector de posición es r1, no hay que realizar trabajo (según hipótesis de partida, el valor del campo eléctrico es cero en todos los puntos, y la fuerza sobre q1 es, por tanto, cero). Si ahora se trae la carga q2 desde el infinito hasta el punto r2, el trabajo que hay que realizar es

Donde

Es el potencial del punto que va a ocupar la carga q2, que solo esta creado por la carga q1/r12=|r1-r2| es la distancia entre los puntos que ocupan las cargas q1 y q2. Si a continuación traemos la carga q3 al extremo de r3, el trabajo necesario vale

Donde

Es el potencial que las cargas q1 y q2 crean en el extremo de r3. De la misma forma, si se acerca a continuación la carga q4 hasta el punto r4, el trabajo vale

Donde

Es el potencial creado por las cargas q1, q2 y q3 en el punto r4. Y asi sucesivamente. El trabajo para traer la carga qn al punto rn es

El trabajo total realizado para traer las n cargas es la suma de los anteriores

De forma resumida

El factor ½ se debe a que el sumatorio hace aparecer dos veces en lugar de una el producto de cada carga por las otras.

Esta es la formula mas util para hallar la energia electrostatica de una distribucion de cargas puntuales. Se puede obtener otra equivalente asi: el potencial que todas las cargas de la distribucion excepto qh crean en el punto que ocupa qh vale

Por tanto, para traer la carga qh desde el infinito, de potencial cero, hasta ese punto, el tabajo vale

Poniendo (1) como

Se ve que

(3) da el trabajo que hay que realizar para llevar la carga puntual qh desde el infinito al punto que ocupa en la distribucion, pero suponiendo que las n-1 cargas restantes estan ya en su lugar. Si ese trabajo

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