Estimación del tamaño de la población

ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN:

En algunos estudios la estimación del tamaño de la población es el objetivo principal. El estudio del crecimiento, evolución y mantenimiento de poblaciones salvajes (como es el caso de animales) depende crucialmente de estimaciones exactas del tamaño de la población.

Muestreo Directo:

Para estimar N tenemos que:

N ̃=(El número de animales marcados)/(La proporción de animales marcados en la segunda muestra)

Que es equivalente a:

N ̃= nt/s

Varianza estimada de N:

V ̃(N ̃ )=(t^2 n(n-s))/s^3

Límite para el error de estimación de N:

Z_(α⁄2) √(V ̃(N ̃ ) )=Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/s^3 )

Estimación de N por intervalos de confianza:

N ̃-Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/s^3 )≤N≤N ̃+Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/s^3 )

Comentarios

s= número de elementos marcados en la 2ª muestra, ha de ser mayor que 0 para que las fórmulas estén bien definidas. Si en la segunda muestra no aparece ningún elemento marcado, se aumenta el tamaño muestral.

N ̃ no es un estimador insesgado de N pues:

E(N ̃ )≈N+N(N-t)/nt ≠N

Cuanto mayor sean n y t menor será el sesgo N N(N-t)/nt

N ̃ tiende a sobreestimar el valor real de N.

EJEMPLO:

Un club deportivo se interesa por el número de truchas de río en un arroyo. Durante un periodo de varios días se atrapan 100 truchas, se marcan y se devuelven al arroyo. Obsérvese que la muestra representa 100 peces diferentes, ya que cualquier pez atrapado que ya hubiera sido marcado se devolvía inmediatamente. Varias semanas después se atrapó una muestra de 120 peces y se observó el número de peces marcados. Supongamos que este número fue de 27 en la segunda muestra. Estime el tamaño total de la población de truchas y dé un límite de error de estimación.

Solución:

El tamaño total de la población de truchas es:

N ̃=nt/s=(120 ×100)/27=444,4

Ahora calculamos la varianza:

V ̃(N ̃ )=(t^2 n(n-s))/s^3 =(〖100〗^2×120(120-27) )/〖27〗^3 =5669.87

Límite de error de estimación al 95% de confiabilidad:

Z_(α⁄2) √(V ̃(N ̃ ) )=1.96√(V ̃(N ̃ ) )=147.59

Estimación de N por intervalos de confianza:

444.4-147.59≤N≤444.4+147.59

296.81≤N≤591.99

Interpretación:

El total de la población de truchas de rio en el arroyo oscila desde 296.81 y 591.99.

TAMAÑO DE MUESTRA PARA MUESTREO DIRECTO:

La siguiente tabla es útil para determinar los tamaños de muestra (t y n) que se requieren para estimar N ̃ con un límite fijo de error de estimación. Si se conoce el tamaño aproximado de N, puede determinarse la varianza del estimador para valores fijos de los tamaños de muestra t y n. En la siguiente tabla se expresa estos tamaños de muestra como fracciones de N.

Las expresiones dadas por

p_1=t⁄N y p_2=n⁄N

Son llamadas fracciones de muestreo

Valores de V(N ̌ )/N para muestreo directo.

p_2=n⁄N p_1=t⁄N

0.001 0.01 0.1 0.25 0.50 1.0

0.001 999000 99000 9000 3000 1000 0

0.01 99000 9900 900 300 100 0

00.1 9990 990 90 30 10 0

0.25 3996 396 36 12 4 0

0.50 1998 198 18 6 2 0

1.0 999 99 9 3 1 0

Muestreo Inverso

La diferencia con el muestreo directo es que aquí el tamaño de la segunda muestra no está fijado (es aleatorio), lo que se fija es s = número de elementos marcados en la segunda muestra.

Estimación de N:

N ̃= nt/s

Varianza estimada de N:

V ̃(N ̃ )=(t^2 n(n-s))/(s^2 (s+1))

Límite para el error de estimación de N:

Z_(α⁄2) √(V ̃(N ̃ ) )=Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/(s^2 (s+1)))

Estimación de N por intervalos de confianza:

N ̃-Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/(s^2 (s+1)))≤N≤N ̃+Z_(α⁄2) √((t^2 n(n-s))/(s^2 (s+1)))

Comentario.

N ̃ es un estimador insesgado de N , por ello, si se pueden aplicar ambos tipos

de muestreo se prefiere el inverso.

EJEMPLO:

Una zoóloga desea estimar el tamaño de la población de tortugas en determinada área geográfica. Ella cree que el tamaño de la población está entre 500 y 1000; por lo que una muestra inicial de 100 parece ser suficiente. Las 100 tortugas son capturadas, marcadas y liberadas. Toma una segunda muestra un mes después y decide continuar muestreando hasta que se recapturen 15 tortugas marcadas. Atrapa 160 tortugas para obtener las 15 marcadas.Estime el tamaño total de la población de tortugas y establezca un límite de error de estimación.

Solución:

Estimador del tamaño total de la población de tortugas:

N ̃= nt/s= (160×100)/15=1066.67

Varianza estimada de N:

V ̃(N ̃ )=(〖100〗^2×160×(160-15))/(〖15〗^2 (15+1))=64 444.44

Límite para el error de estimación de N con un 95% de confiabilidad:

Z_(α⁄2) √(V ̃(N ̃ ) )=1.96×√(64 444.44) =497.56

Estimación de N por intervalos de confianza:

1066.67-497.56≤N≤1066.67+497.56

569.11≤N≤1564.23

Interpretación: El tamaño total de la población de tortugas oscila desde 569.11 a 1564.23.

Tamaño de muestra

Selección del tamaño de muestra para Muestreo Inverso:

Cuando usamos muestreo inverso fijamos s en lugar de n; por lo que la segunda fracción de muestreo está en términos de s.

Valores V(N ̌ )/N para muestreo inverso.

p_2=s⁄N p_1=t⁄N

0.001 0.01 0.1 0.25 0.50 1.0

0.001 999 990 900 750 500 0

0.01 99 90 75 50 0

00.1 9 7.5 5 0

0.25 3 2 0

0.50 1 0

1.0 0

ESTIMACIÓN DE LA DENSIDAD Y EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN USANDO MUESTREO POR CUADROS:

Con este método se estudia el tamaño de la población contenida en un área delimitada A conocida. Los pasos a seguir son:

M=∑_(i=1)^N▒m_i

Dividir a la población en N cuadros de igual área a. Sea

m_i = número de elementos en el cuadro i -ésimo

Tomar una muestra de n cuadros entre los N existentes. Se observa el número total de elementos que contiene la muestra:

M=∑_(i=1)^N▒m_i

Calcular la densidad de elementos en la muestra (densidad muestral):

λ ̂=(n° elementos en la muestra)/(área de la muestra)= m/na

La densidad poblacional es

λ=(n° elementos en la muestra)/(área de la muestra)= m/na

Entonces M=Aλ . Por tanto:

ESTIMADOR DE LA DENSIDAD: λ=m/na

VARIANZA ESTIMADA DE λ ̂ : V ̂(λ ̂ )=m/(a^2 n^2 )= λ ̂ 1/na

ESTIMADOR DEL TAMAÑO POBLACIONAL: M ̂=Aλ ̂=A m/na

VARIANZA ESTIMADA DE M ̂ : V ̂(M ̂ )=A^2 V ̂(λ ̂ ) = (A^2 m)/(a^2 n^2 )

EJEMPLO:

La policía de Madrid está interesada en conocer el número de aficionados que se reunieron en torno a la fuente de Neptuno para celebrar el triunfo de su equipo. Con este dato se puede conocer la cuantía de medios materiales y humanos (policía, protección civil, personal sanitaria, etc.) necesaria para atender futuras concentraciones. Para estimar el número de aficionados se toma una fotografía aérea de la zona ocupada por éstos, tras lo cual se traza sobre ella una cuadrícula que divide el área total en 300 cuadros de 10 metros de lado cada uno. Posteriormente se numeran y se extrae una muestra aleatoria de 20 de estos cuadros; por último se cuenta el número de aficionados que hay en cada uno de los cuadros seleccionados, obteniéndose los resultados de la tabla:

Nº del cuadro Número de aficionados

en el cuadro Nº del cuadro Número de aficionados

en el cuadro

1 193 11 160

2 216 12 220

3 250 13 163

4 163 14 306

5 209 15 319

6 195 16 289

7 232 17 205

8 174 18 210

9 215 19 209

10 198 20 198

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