Estudio de la variación y el cambio

Función: Es una relación en la que a cada elemento del primer conjunto se le asocia uno y solo uno del segundo.

Dominio: Todos los valores que puede tomar la variable independiente.

Imagen: Todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Estudio de la variación y el cambio

La derivada en un punto, está asociada a la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función, en el punto que le corresponde a la imagen de determinado valor “x”

La recta tangente solo corta a la función en un punto.

Si consideramos en una función un intervalo (a x) podemos considerar la imagen f(x) para el punto (x) y f (a) para el punto a delta x es la distancia que surge si al valor de x le restamos el valor de a

▲x= x-a

La derivada es la inclinación de la recta tangente al gráfico en un punto, pero cuando tenemos una recta secante (atraviesa la función) Pero si achicamos el valor de delta x, las imágenes se van acercando y pueden llegar a ser el mismo punto.

f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)- f(x))/∆x〗

f'(x)= █(Lim@x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗 Derivada en un punto f(x)= █( @lim┬(h→0) )⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Interpretaciones de la derivada

Velocidad instantánea (Física)

Pendiente de la recta tangente (Geométrica)

Razón de cambio instantáneo

Ejemplos

1.- Calcula la velocidad instantánea de un móvil cuya función de desplazamiento es s(t)= 5t²-8, en t=3

t=3

y0= 5(3)²-8 y0=37

lim┬(t→3)⁡〖((5t^2-8)-(37))/(t-3)〗 = lim┬(t→3)⁡〖(5t²-45)/(t-3)〗 = lim┬(t→3)⁡〖((t-3)(5t+15))/(t-3)〗

lim┬(t→3)⁡〖5t+15〗 lim┬(t→3)⁡30

2.- Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)= x³-7x en x=1

lim┬(h⇾0)⁡〖((x+h)^3-7(x+h)-(x^3-7x))/h〗

lim┬(h⇾0)⁡〖((x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 )-7x-7h-x^3-7x)/h〗

Recordar triángulo de pascal

lim┬(h⇾0)⁡〖( 3x²h+3xh²+h³-7h)/h〗 lim┬(h⇾0)⁡〖( h(3x^2+3xh+h^2-7))/h〗 lim┬(h⇾0)⁡〖3x²+3x(0)+(0)^2-7 〗

lim┬(h⇾0)⁡〖3x²-7〗 Cuándo x=1 3(1)-7 = 4 ecuación de la recta y-(-6)= -4 x (-1)

...