Fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas.

Resumen analítico especializado (RAE)

Titulo

Fórmula de la curvatura de una curva plana con

funciones trigonométricas.

Modalidad de trabajo

de grado

Proyecto de investigación.

Autores

Luis Alberto Ramirez Castellanos

Institución

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Fecha

Septiembre de 2021.

Palabras claves

Circunferencia osculatriz, curvatura, geometría, radio

de curvatura, trigonometría.

Descripción

Existe una fórmula definida en el calculo que permite calcular la curvatura de una curva plana, y su demostración rigurosa usa los conceptos desarrollados por el cálculo multivariado y vectorial, y tiene diferentes versiones dependiendo del sistema de coordenadas que se usen, sin embargo, es posible abordar la construcción de la fórmula que mide la curvatura de una curva plana utilizando los conceptos básicos de la geometría analítica plana como la función de la circunferencia, las coordenadas polares y las pendientes de rectas perpendiculares, también del cálculo como la derivación y sus reglas de la potencia y el cociente, y la trigonometría con

sus funciones, identidades e inversas, resultando así, una nueva

fórmula que utiliza funciones trigonométricas y es funcional y

equivalente a su homóloga definida en el cálculo.

Contenidos

Construcción de la fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas

Aquí se deduce una nueva fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas, y se utilizan ejemplos para probar la funcionalidad de la nueva fórmula.

Dominio de la fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas

Se define el dominio de la nueva fórmula.

Otras versiones de la fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas

Se utilizan las relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas para deducir otras versiones de la nueva fórmula de la curvatura de

una curva plana.

Metodología

Definición del enfoque: en el presente proyecto de investigación se utiliza el enfoque cuantitativo, que según Hernández (2014), permite ser objetivo en la descripción, explicación y comprobación de la fórmula buscada, de manera que se genere la teoría que pruebe la fórmula mediante el uso de la lógica deductiva en la teoría relacionada, fundamental para el planteamiento de la investigación y las demás etapas del proceso, utilizando procedimientos rigurosos, estructurados

y objetivos que confirmen la validez de los resultados.

Planteamiento del problema: En este punto se formula el problema como una pregunta: ¿Cómo Construir una nueva fórmula de la curvatura de una curva plana con funciones trigonométricas?

La formulación de esta pregunta implica la posibilidad de realizar una prueba empírica, es decir, que la funcionalidad de la formula desarrollada pueda ser comprobada mediante la resolución de algún ejemplo. Aquí también se desarrolla los objetivos y la justificación de la investigación.

Técnica: Documental, en la que se hace una revisión analítica de la literatura relacionada con la temática de la investigación, como la definición y antecedentes del concepto de curvatura de una curva, radio de curvatura, circunferencia osculatriz, construcción vectorial de la fórmula de la curvatura, la fórmula de la longitud de arco, las variaciones de la fórmula de curvatura de acuerdo al sistema de coordenadas utilizadas, los conceptos de la geometría analítica para construir la nueva fórmula como la función de la circunferencia, las coordenadas polares, la pendiente de rectas perpendiculares, la derivación en calculo y las funciones trigonométricas junto con sus inversas, desarrollando así el marco teórico.

Alcance de la investigación: En este proyecto de investigación se utiliza el estudio de alcance exploratorio, que según Hernández (2014) se emplea para estudiar un tema

novedoso que no se ha abordado antes, ya que se indaga acerca

de la fórmula de la curvatura de la curva plana desde una nueva perspectiva que permite utilizar en su definición funciones trigonométricas.

Conclusiones

Para un correcto desarrollo de este proyecto de investigación, se definió, de acuerdo con el estudio de la literatura relacionada al tema, el concepto de curvatura como la razón de cambio de la recta tangente en un punto de la curva respecto al cambio de la longitud de arco, determinándose así la formula (1) y (2). También se definió el concepto de radio de curvatura como el reciproco de la curvatura, y se interpreta como el radio que tendría una circunferencia, llamada osculatriz, si tuviese la misma curvatura que tiene la curva definida por una cierta función continua y doblemente diferenciable en un punto determinado.

Conociendo la definición de los principales conceptos, se procede a utilizar un razonamiento diferente al utilizado para construir la fórmula de la curvatura, y consiste en calcular primero el radio de curvatura utilizando conceptos básicos de geometría analítica plana como la función de la circunferencia, las coordenadas polares y las pendientes de rectas perpendiculares, también del cálculo como la derivación y sus reglas de la potencia y el cociente, y la trigonometría con sus funciones coseno y tangente inversa. Para hallar dicho radio,

primero se hallan la primera y la segunda derivada de la