FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE

Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma .

El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial de la forma:

, para cuando hay una sola condición a cumplir y para cualquier n variables.

Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene: , las restricciones son: . Entonces la ecuación queda:

, para cuando hay dos condiciones a cumplir.

Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver.

Cuando se tiene una función de tres variables restringida por , el procedimiento general se puede establecer así:

• Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos.

• Identificar la o las restricciones a cumplir por la función.

• Hallar el gradiente de la función:

• Hallar el gradiente de la restricción:

• Formar la ecuación vectorial:

• Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones.

• Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan y .

• Evaluar todos los puntos del resultado anterior en la función . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función.

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Ejemplo 1:

¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?

Solución:

Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.

Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.

Área de un rectángulo: A = x.y

Condición a cumplir: :

De una manera más fácil:

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.

Así las ecuaciones de Lagrange son:

…. (1)

….. (2)

…(3)

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:

Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,

…. (4)

….. (5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5)

Al simplificar queda:

; Queda:

Luego una variable se expresa en función

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