Ficha Sistema de Ecuaciones: Método de Sustitución

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Tema: SISTEMA DE ECUACIONES: método de sustitución

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Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal porque su grafica es una línea recta

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax + by=c

Ejemplo 

2x + 6y = 12

Puedes observar que no solo hay una incógnita si no dos, x  y la y

Sistema de ecuaciones 2 x2: esto significa 2 ecuaciones 2 incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.

Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x,y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.

Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se llama:

• Sistema Compatible Determinado, si tiene una única solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas que se cortan en un punto.

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• Sistema Compatible Indeterminado, si tiene infinitas soluciones. La representación gráfica del sistema son dos rectas coincidentes.

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• Sistema Incompatible, si no tiene solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas que son paralelas.

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Resolución de problemas

Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resolver el sistema planteado. Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. Una vez resuelta el sistema no te olvides de dar la solución al problema

Existen 4 métodos para la solución de un sistema de ecuaciones:

• Método de igualación
• Método suma-resta o reducción o eliminación
• Método de sustitución
• Método grafico

Iniciaremos con el método de sustitución presta atención a los ejemplos que se resolverán a continuación!!!!

Ejemplo 1

Juan Pérez fue a la papelería por material para la escuela y compro 3 libretas de pasta gruesa y 2 sencillas pagando por ellas $145, al retornar a casa recordó que no había comprado las libretas de su hermanita y regreso a la papelería por ellas, comprando 2 libretas de pasta gruesa y 5 sencillas por $170, al llegar a casa su mama le pregunto: ¿Cuánto costo cada libreta de pasta dura? Y ¿Cuánto cada libreta sencilla?, lamentablemente Juan no exigió notas, pero matemáticamente podemos obtener el precio de cada tipo de libreta.

Las matemáticas las usamos en la vida común y a veces, ni nos damos cuenta, ejemplifico este problema, aunque existen muchos otros donde utilizamos la resolución de un sistema de ecuaciones.

Interpretando el problema

Llamaremos:

                          X  a la libreta de pasta dura

                          Y a la libreta de pasta sencilla

Entonces el primer enunciado nos dice:

Compro 3 libretas de pasta gruesa y 2 sencillas pagando por ellas $145

3x + 2y = 145

El segundo enunciado nos dice:

Compro 2 libretas de pasta gruesa y 5 sencillas por $170

2x + 5y = 170

Nuestro sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:

3x + 2y = 145 -----------Ecuación 1

2x + 5y = 170 -----------Ecuación 2

Daremos solución por el método de sustitución, que consiste en despejar una variable en cualquiera de las 2 ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación que no se despejo.

Paso 1: Despejaremos una incógnita en cualquiera de las 2 ecuaciones puede ser x ó y, la incógnita que tu consideres.

Ecuación 1

Si despejamos x en la primera ecuación, nos queda de la siguiente manera:

3x + 2y = 145

3x = 145 – 2y

x= [pic 18]

Ahora bien, la incógnita x que se despejo en la primera ecuación, la sustituiremos en la x de la segunda ecuación, dado que el valor de x en el sistema de ecuaciones es el mismo, de la siguiente forma:

                         x=        Ecuación despejada[pic 19]

                       2x + 5y = 170        Ecuación 2

[pic 20]

La sustitución queda de la siguiente forma:

2 (  ) + 5y = 170[pic 21]

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