Fluidos Ideales

FLUIDOS EN MOVIMIENTO Y ECUACIÓN DE BERNOULLI

El flujo de un fluido puede ser en general muy complicado. Consideremos, por ejemplo el humo que asciende de un cigarro encendido.A1 principio el humo se eleva con una forma regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo empieza a ondear de forma irregular. El flujo turbulento es muy difícil de estudiar y, por consiguiente, solo estudiaremos el flujo en estado estacionario. Consideremos en primer lugar un fluido que fluye sin disipación de energía mecánica. Dicho fluido se denomina no viscoso. Supondremos también que el fluido es incompresible, y por tanto, su densidad es constante. Puede verse en el dibujo un fluido que circula por un tubo cuya sección recta tiene un área variable.

La parte sombreada de la izquierda (zona 1) representa un elemento de volumen de líquido que fluye hacia el interior del tubo con una velocidad vl. El área de la sección recta del tubo en esta zona es Al. El volumen de líquido que entra en el tubo en el tiempo t es V = Al.vl.t

Como estamos admitiendo que el fluido es incompresible, debe salir del tubo en la zona 2 un volumen igual de fluido. Si la velocidad del fluido en este punto es v2 y el área correspondiente de la sección recta vale A2, el volumen es V=A2.v2.t. Como estos volúmenes deben ser iguales, se tiene A1.v1.t. = A2.v2.t., y por tanto

Ecuación de continuidad.

El producto Q = Av es una magnitud denominada flujo de volumen Q, gasto o caudal. Las dimensiones de Q son las de volumen/tiempo (p.e. litros por minuto) En el flujo estacionario de un fluido incompresible, el caudal es el mismo en todos los puntos de fluido.

Ejemplo

La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el flujo de volumen?

Q = vA = 0.30..(0,01)2 = 9.4210-5m3/s

Es costumbre dar la velocidad de bombeo del corazón en litros por minuto. Utilizando 1 litro = 10-3 m3 y 1 min = 60 s, se tiene

Q=(9.4210~5 m3/s) (103).(60/1) = 5.65 litros/minuto

La altura y sección del tubo van variando como se indica en el dibujo, por tanto, para el líquido:

La variación (ganancia o pérdida) de energía potencial al ascender (o descender) por el tubo es U = mg(y2-y1) = Vg(y2-y1)

La variación de energía cinética del líquido es , que en función de la densidad V(v22-v12) (siendo v la velocidad del fluido)

El trabajo realizado por las fuerzas necesarias para mantener la presión suficiente para que el líquido suba es W=(P1-P2)V= PV. Siendo P la caída o diferencia de presiones en los extremos del tubo

Aplicando el teorema trabajo-energía y la ecuación de continuidad, se tiene

P1+gy1+1/2v12 = P2+gy2+1/2v22

es decir:

P+gy+1/2v2 = constante

Lo que significa que esta combinación de magnitudes calculada en un punto determinado de la tubería tiene el mismo valor que en cualquier otro punto. La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli para el flujo constante y no viscoso de un fluido incompresible. Sin embargo, la ecuación de Bernoulli se aplica en muchos casos a fluidos compresibles como los gases.

Una aplicación especial de la ecuación de Bernoulli es la que se tiene cuando el fluido está en reposo. Entonces vl = v2 = 0 y se obtiene

P1-P2=g(y2-y1) = gh

en donde h=y2-yl es la diferencia de altura entre dos puntos (algo que ya vimos anteriormente).

Ejemplo

Un depósito grande de agua tiene un orificio pequeño a una distancia h por debajo de la superficie del agua. Hallar la velocidad del agua cuando escapa por el orificio.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b de la figura y como el diámetro del orificio es mucho menor que el diámetro del deposito, podemos despreciar la velocidad del agua en su parte superior (punto a). Se tiene entonces

Pa+gya = Pb+gyb+1/2vb2

Como tanto el punto a como el b están abiertos a la atmósfera, las presiones Pa y Pb son ambas iguales a la presión atmosférica. Por tanto,

vb2 =2g(ya-yb) = 2gh ; vb =

el agua sale del orificio con una velocidad igual a la que tendría si cayese en caída libre una distancia h. Este resultado se conoce como ley de Torricelli.

En el dibujo siguiente

está circulando agua por un tubo horizontal que tiene una región 2 de menor diámetro. Como ambas partes del tubo tienen la misma altura, yl=y2 la ecuación de Bernoulli se reduce sólo a la parte cinética

P+1/2.v2 = cte.

Véanse la figura siguientes:

De la ecuación P+1/2.v2 = cte se infiere que, si no existen desniveles, la presión hidrostática en una vena líquida ideal es mayor donde la velocidad es menor, es decir, en los lugares de mayor sección.

Cuando el fluido se introduce en la región de menor diámetro, al ser menor el área A, la velocidad v deberá ser mayor, para que se mantenga constante el producto Av. Pero de acuerdo con la ecuación, si la velocidad aumenta, la presión debe disminuir, puesto que P+1/2.v2 debe permanecer constante. Por consiguiente, se reduce la presión en la parte estrecha. Esta ecuación es un resultado importante que se aplica en muchos casos en los que se pueda no tener en cuenta los cambios de altura. Este resultado se conoce como efecto Venturi.

De la ecuación se infiere que, si no existen desniveles, la presión hidrostática en una vena líquida ideal es mayor donde la velocidad es menor, es decir, en los lugares de mayor sección

La presión cinemática Pc representa la presión que el líquido ejercería en virtud de su velocidad, contra una superficie perpendicular a la dirección del movimiento.

De acuerdo con esto, si en una vena líquida se introduce un tubo con su orificio paralelo a las líneas de corriente y conectado con un manómetro adecuado, ver figura, se registra la presión hidrostática P. En cambio, si la boca del tubo enfrenta la corriente, se registra aquélla más la cinemática, es decir, la hidrodinámica P+Pc.

Ejemplo

Por una tubería circula agua a 4m/s bajo una presión de 200 kPa. La tubería se

...