Formulas basicas de calculo vectorial

Vectores

θ=cos^(-1)⁡〖(a∙b)/|a||b| 〗 Ángulo entre vectores

cos⁡α=ai/|a| ; cos⁡β=aj/|a| ; cos⁡γ=ak/|a| Cosenos directores

√ 0 π/6 π/4 π/3 π/2

sin⁡θ 0 1 2 3 4

cos⁡θ 4 3 2 1 0

⁄ 2 2 2 2 2

Funciones trigonométricas

La recta y el plano

Recta en el espacio <x,y,z>=(x_0,y_0,z_0 )+t<a,b,c>

x=x_0+at; y=y_0+bt; z=z_0+ct Ecuaciones paramétricas

(x-x_0)/a=(y-y_0)/b=(z-z_0)/c Ecuación simétrica

v_1∙v_2=0 Rectas perpendiculares

v_2=kv_1 Rectas paralelas

No se intersecan Rectas oblicuas

Plano <a,b,c>∙<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=0

a(x-x_0 )+b(y-y_0 )+c(z-z_0 )=0 Ecuación del plano

n_1∙n_2=0 Planos perpendiculares

n_2=kn_1Planos paralelos

d=|ax_0+by_0+cz_0+d|/√(a^2+b^2+c^2 ) Distancia entre punto y plano

d=|d_1-d_2 |/√(a^2+b^2+c^2 ) Distancia entre planos

Funciones vectoriales de un escalar

r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k

L=∫_a^b▒|r'(t)| dt Longitud de arco

v(t)=r'(t) Velocidad

a(t)=r''(t) Aceleración

|v(t)|=v Rapidez

T(t)=(r'(t))/|r'(t)| Vector tangente unitario

k(t)=(T'(t))/|r'(t)| =|r^' (t)×r''(t)|/|r'(t)|^3 Curvatura

N(t)=(T'(t))/|T'(t)| Vector normal

a(t)=a_N N+a_T T Aceleración total

a_N=kv^2 ; a_T=dv/dt Aceleración tangencial y normal

B(t)=T(t)×N(t) Vector binormal

Triedro móvil

Funciones de varias variables (campos escalares)

Dominio

Todo el plano xy Polinomiales

{(x,y,z)∥Q(x,y,z)=0} Racional

{(x,y,z)∥Q(x,y,z)≥0} Raíz cuadrada

Límites

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖f(x,y)=L〗 Solo si se aproxima desde cualquier trayectoria

Continuidad z=f(x,y)es contiuna en (a,b)si

f(a,b)está definida

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖f(x,y) existe e=f(a,b)〗

Derivadas parciales z=f(x,y),x=g(t),y=h(t)

dz/dt=∂z/∂x dx/dt+∂z/∂y dy/dt

z=f(x,y),x=g(s,t),y=h(s,t)

∂z/∂s=∂z/∂x ∂x/∂s+∂z/∂y ∂y/∂s

∂z/∂t=∂z/∂x ∂x/∂t+∂z/∂y ∂y/∂t

Derivadas parciales implícitas f(x,y,z)=0

∂z/∂x=-f_x/f_z ; ∂z/∂y=-f_y/f_z ; dy/dx=-f_x/f_y

Campo gradiente

∇f(x,y,z)=∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k

Derivada direccional u=cos⁡θ i+sin⁡θ j,u=v/|v| en (x_0,y_0,z_0 )

D_u f=∇f(x_0,y_0,z_0 )∙u

Plano tangente

f_x (x_0,y_0,z_0 )(x-x_0 )+f_y (x_0,y_0,z_0 )(y-y_0 )+f_z (x_0,y_0,z_0 )(z-z_0 )=0

Puntos críticos

f_x=0,f_y=0 D=|■(f_xx&f_xy@f_xy&f_yy )|

D(a,b)>0,f_xx>0 Mínimo

D(a,b)>0,f_xx<0 Máximo

D(a,b)<0 Punto silla

Multiplicadores de Lagrange z=f(x,y),g(x,y)=0

f_x=λg_x ; f_y=λg_y ; g(x,y)=0

Integrales dobles y triples

Integrales dobles

∬▒f(x,y)dA=∫_a^b▒∫_(g_1 (x))^(g_2 (x))▒f(x,y)dydx

∬▒f(x,y)dA=∫_c^d▒∫_(h_1 (y))^(h_2 (y))▒f(x,y)dxdy

Integrales dobles en coordenadas polares

x=r cos⁡〖θ ;y=r sin⁡θ 〗Cambio de coordenadas

∬▒f(r,θ)dA=∫_α^β▒∫_(g_1 (θ))^(g_2 (θ))▒f(r,θ)rdrdθ

∬▒f(r,θ)dA=∫_a^b▒∫_(h_1 (r))^(h_2 (r))▒f(r,θ)rdθdr

Área de la superficie

A(S)=∬▒√(1+〖f_x〗^2+〖f_y〗^2 ) dA

Integral triple

∭▒〖f(x,y,z)dV〗=∫_a^b▒∫_(h_1 (x))^(h_2 (x))▒∫_(g_1 (x,y))^(g_2 (x,y))▒f(x,y,z)dzdydx

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