Funcion Logaritmo Natural

Materia: Matemáticas

Tema: Funciones.

Profesor:

Ing.

Alumno: Juan Anael Burciaga Anzures

Matricula: 1719309

Fecha: 22/09/2014

Hora:

Brigada:

Funciones Exponenciales

DEFINICION

Una función exponencial con base a se define como:

Y= f(x)= aX

Donde a siendo a un número real positivo (a ∈ R con a > 0, a ≠ 1 y x es un número real).

Esto significa que la base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f (x) siempre es positivo. Además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante f(x) = 1X = 1

La función exponencial es una función de R en R+

PROPIEDADES

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

Teorema 1. (Propiedades de la función exponencial)

Sean a y b reales positivos y x, y ∈ R; entonces:

E7. Cuando a > 1, si x < y, entonces ax < ay Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

E8. Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces ay < ax, . Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

E11. Cualquiera que sea el número real positivo y0, existe un único número real x0 tal que axo = y0. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

GRAFICAS

Al graficar la función y = 3x tomando en consideración la siguiente tabulación se obtiene:

De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que:

• El dominio de la función exponencial es el intervalo abierto: (− ∞,∞)

• El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞)

• No cruza al eje x , siempre corta al eje y en el punto P(0,1) y pasa por el punto P(1,a)

• Siempre es creciente si a >1 y siempre es decreciente si 0 < a <1

• La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y decrece más rápido si la base es cada vez menor

• Es continua

• Si el valor de la base es uno, a se convierte en la función constante f(x)=1, representada por una recta paralela al eje x , a una unidad de distancia.

APLICACIÓN

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo.

Las tres aplicaciones más importantes son:

• Crecimiento de poblaciones.

• Interés del dinero acumulado.

• Desintegración radioactiva.

Interés compuesto

En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.

Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en %) el capital final obtenido viene dado por la fórmula:

Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses, n=4, si trimestres, n=365 si días,...) la fórmula anterior queda:

Crecimiento de poblaciones

El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.

Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en P=P0•(1+i)t

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por: M=M0•at

M0 es la masa inicial, 0<a<1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos.

La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad

Funciones Logarítmicas

DEFINICION

Sea la siguiente expresión: an=b

Se define al logaritmo en base a de un número b como el exponente n al que hay que elevar la base para obtener dicho número, esto es:

loga b = n

Que se lee: el logaritmo en base a del número b es n.

Ejemplos:

1) 32= 9 ⇒ log3 9=2

2) 27=128 ⇒ log2 128=7

3) 54=625 ⇒ log5 625=4

Como se puede ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no se debe olvidar cuando se trabaje con logaritmos.

Los logaritmos fueron introducidos en las Matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos se puede convertir productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia an para cualquier valor real de n solo tiene sentido si a > 0

Función logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

y= loga f(x)

PROPIEDADES

La función logarítmica es biyectiva definida de R+ en R y sus características son:

• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos

• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a

• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e

• Es la función inversa de la función exponencial.

• Ejemplos de funciones logarítmicas:

GRAFICAS

Sea la función y= log10 x, si se tabula y se gráfica, respectivamente se obtiene lo siguiente:

Si la función es y = ln x, la tabulación y la gráfica son las siguientes

Ahora, considérese la función

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