Funciones de Varias Variables

Funciones de

Varias

Variables

Índice

1Introducción        

1.1        Definición        

1.2        Punto        

1.3        Distancia entre dos puntos        

1.4        Vecindad de Q        

1.5        Punto frontera        

1.6        Punto interior        

1.7        Punto exterior        

1.8        Conjunto Abierto        

1.9        Conjunto cerrado        

1.10        Definición: Límite de una función en un punto        

1.11        Propiedades        

1.12        Definición: Continuidad        

1.13        Propiedades:        

1.14        Ejercicios        

2        Derivadas parciales        

2.1        Definición        

2.2        Ejemplo        

2.3        Nota        

2.4        Interpretación de las derivadas parciales        

2.5        Ejemplo        

2.6        Interpretación de la pendiente fx y fy.        

2.7        Derivadas de segundo orden.        

2.8        Teorema de Young        

2.9        Interpretación de la derivada de segundo orden        

2.10        Ejercicios        

3        Optimización de funciones de dos variables.        

3.1        Puntos Críticos        

3.2        Definición: Máximo relativo        

3.3        Definición: Mínimo relativo.        

3.4        Condición necesaria de extremos relativos        

3.5        Ejemplo        

3.6        Clasificación de los puntos críticos        

3.7        Ejercicios        

4        Aplicaciones de la optimización bivariada.        

4.1        Ejemplo:        

4.2        Ejemplo:        

4.3        Ejemplo:        

4.4        Ejercicios        

1. Introducción

1. Definición

Una magnitud variable z se denomina función uniforme de dos variables x e y, si a cada conjunto de valores (x,y), corresponde un único valor y determinado de z. Las variables x e y se denominan variables independientes .Se representa:

Z=f(x,y)[pic 2]

1. Punto

Una terna (x,y,z) representa un punto en el espacio R3 .

1. Distancia entre dos puntos

[pic 3]

[pic 4]

1. Vecindad de Q

La vecindad ε de Q =(a,b,c) consiste en los puntos P =(x,y,z) para los cuales PQ<ε.Estos puntos forman una bola dada por la desigualdad:

[pic 5]

1. Punto frontera

Un punto P es un punto frontera de un conjunto S de puntos si cada vecindad de P contiene tantos puntos que pertenecen a S como puntos que no pertenecen a S.

1. Punto interior

Un punto P es interior si cada vecindad de P contiene únicamente punto de S.

1. Punto exterior

Un punto P es exterior si cada vecindad de P está completamente libre de puntos de S.

1. Conjunto Abierto

Un conjunto S de puntos es abierto si ningún punto frontera de S pertenece a S.

1. Conjunto cerrado

Un conjunto S de puntos es cerrado si contiene a su frontera.

1. Definición: Límite de una función en un punto

f tiene el límite L cuando (x,y) tiende a (a,b) y se escribe:

[pic 6] 

si para cada ε>0, existe δ>0, tal que para todo P=(x,y) que pertenezca a la vecindad  de Q=(a,b) se verifica que f(P) pertenece a la vecindad de f(Q), es decir [pic 7] 

1. Propiedades

1. [pic 8]
2. [pic 9]
3. [pic 10]
4. [pic 11]
5. [pic 12]
6. [pic 13]
7. [pic 14]
8. [pic 15]

1. Definición: Continuidad

Una función f es continua en (a,b) si y sólo si [pic 16]

1. Propiedades:

Si f y g son funciones continuas en (a,b) entonces:

...