Geometría diferencial, las fórmulas de Frenet-Serret

En geometría diferencial, las fórmulas de Frenet-Serret describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva continua y diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional ℝ3, o las propiedades geométricas de la curva misma independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen los derivados de los llamados vectores unitarios tangenciales, normales y binormales en términos de cada uno. Las fórmulas llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron independientemente: Jean Frédéric Frenet, en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal que se usan actualmente para escribir estas fórmulas todavía no se usaban en ese momento. de su descubrimiento.[pic 1]

Los vectores de unidad tangente, normal y binormal, a menudo llamados T, N y B, o colectivamente el marco de Frenet-Serret o el marco de TNB, juntos forman una base ortonormal que abarca ℝ3 y se definen de la siguiente manera:

• T es el vector unitario tangente a la curva, apuntando en la dirección del movimiento.
• N es el vector unitario normal, la derivada de T con respecto al parámetro de longitud de arco de la curva, dividido por su longitud.
• B es el vector de unidad binormal, el producto cruzado de T y N.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

[pic 2]

Donde d/ds es la derivada con respecto a la longitud de arco, κ es la curvatura, y τ es la torsión de la curva. Los dos escalares κ y τ definen efectivamente la curvatura y la torsión de una curva espacial. La colección asociada, T, N, B, κ y τ, se denomina aparato Frenet-Serret. Intuitivamente, la curvatura mide la falla de una curva en una línea recta, mientras que la torsión mide la falla de una curva en un plano.

DEFINICION: 

Sea r (t) una curva en el espacio euclidiano, que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a curvas que no son degeneradas, lo que significa aproximadamente que tienen una curvatura distinta de cero. Más formalmente, en esta situación, se requiere que el vector de velocidad r '(t) y el vector de aceleración r' '(t) no sean proporcionales. [pic 3]

Supongamos que s (t) representa la longitud del arco que la partícula ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t. La cantidad s se usa para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por la longitud del arco, ya que muchas trayectorias de partículas diferentes pueden trazar la misma curva geométrica al atravesarla a diferentes velocidades. En detalle, s está dado por:[pic 4]

Además, dado que hemos supuesto que r '≠ 0, se deduce que s (t) es una función que aumenta de forma estrictamente monótona. Por lo tanto, es posible resolver para t como una función de s, y así escribir r (s) = r (t (s)). La curva se parametriza así de una manera preferida por su longitud de arco.

Con una curva r (s) no degenerada, parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el marco Frenet-Serret (o marco TNB):

• El vector de unidad tangente T se define como:

[pic 5]

• El vector de unidad normal N se define como:

[pic 6]

• El vector de unidad normal N se define como:

De la ecuación (2) se desprende, ya que T siempre tiene magnitud unitaria, que N (el cambio de T) es siempre perpendicular a T, ya que no hay cambio en la dirección de T. De la ecuación (3) se deduce que B siempre está perpendicular a T y N. Por lo tanto, los tres vectores unitarios T, N y B son todos perpendiculares entre sí.

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

[pic 10]

donde k es la curvatura y Ƭ es la torsión.

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como el teorema de Frenet-Serret, y se pueden expresar de forma más concisa usando la notación de matriz:

[pic 11]

Esta matriz es sesgada-simétrica

Fórmulas en n dimensiones:

Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizadas a espacios euclidianos de mayor dimensión por Camille Jordan en 1874. Supongamos que r (s) es una curva suave en Rn, parametrizada por la longitud del arco, y que la primera n derivada de r son linealmente independientes. [2] Los vectores en el marco de Frenet-Serret son una base ortonormal construida al aplicar el proceso de Gram-Schmidt a los vectores (r′(s), r′′(s), ..., r(n)(s)).

En detalle, el vector unitario de la unidad es el primer vector de Frenet e1 (s) y se define como:

[pic 12]

El vector normal, a veces llamado vector de curvatura, indica la desviación de la curva de ser una línea recta. Se define como:

[pic 13]

Su forma normalizada, el vector normal de la unidad, es el segundo vector de Frenet e2 (s) y se define como:

[pic 14]

La tangente y el vector normal en el punto s definen el plano de osculación en el punto r (s).

Los vectores restantes en el marco (el binormal, trinormal, etc.) se definen de manera similar por

[pic 15]

Las funciones reales valoradas χi (s) se llaman curvatura generalizada y se definen como: 

[pic 16]

Las fórmulas de Frenet-Serret, establecidas en lenguaje de matriz, son

[pic 17]

Prueba:

Considera la matriz

[pic 18]

Las filas de esta matriz son vectores unitarios mutuamente perpendiculares: una base ortonormal de ℝ3. Como resultado, la transposición de Q es igual a la inversa de Q: Q es una matriz ortogonal. Es suficiente para demostrar que:

[pic 19]

Tenga en cuenta que la primera fila de esta ecuación ya se cumple, por definición de N normal y curvatura κ. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que (dQ / ds) QT es una matriz sesgada simétrica. Dado que I = QQT, tomar un derivado y aplicar la regla del producto rinde[pic 20]

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