Grupos

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Grupos

Definición 1.1.

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1. GRUPOS

ejercicios 1

1. Dado G un grupo en el cual (a · b)2 = a2 · b2 para todo a; b ∈ G. Muestre

que G debe ser abeliano.

2. Dado G un grupo en el cual (a · b)i = ai · bi para tres enteros consecutivos

i y para todo a; b ∈ G. Muestre que G es abeliano.

3. En S3 de un ejemplo de dos elementos x; y tales que (x · y)2 ̸= x2 · y2.

4. Muestre que S3 hay cuatro elementos que satisfacen x2 = e y tres elementos

que satisfacen y3 = e.

5. Si G es un grupo finito, muestre que existe un enetero positivo N tal que

aN = e para todo a ∈ G.

6. Muestre las siguientes propiedades

a) Si un grupo G tiene 3 elementos debe ser abeliano.

b) Si un grupo G tiene 4 elementos debe ser abeliano.

c) Si un grupo G tiene 5 elementos debe ser abeliano.

7. Muestre que si todo elemento de un grupo G es su propio inverso, entonces

G es abeliano.

8. Si G es un grupo de orden par, muestre que tiene un elemento a ̸= e que

satisface a2 = e.

9. Dado G un conjunto no vacío, cerrado para un producto asociativo, para

el cual se satisfacen:

a) Existe e ∈ G tal que a · e = a para todo a ∈ G.

b) Para cada a ∈ G existe un elemento y(a) ∈ G tal que a · y(a) = e.

Muestre que G es un grupo para este producto.

10. Dado G el conjunto de todas las matrices con entradas reales de tamaño

2×2 cuyo determinante es un número racional diferente de cero. Muestre

que G es un grupo bajo la multiplicación de matrices.

11. Dado G el conjunto de todas las matrices con entradas reales de tamaño

2 × 2 tales que su determinante es diferente de cero y la entrada a21 = 0.

Muestre que G es un grupo abeliano bajo la multiplicación de matrices.

es G abeliano?

12. Construya un subgrupo H de orden 4 del grupo del item anterior.

13. Dado G el conjunto de todas las matrices con entradas reales de tamaño

2×2 cuyo determinante es uno y las entradas a21 = a12 = 0. Muestre que

G es un grupo abeliano bajo la multiplicación de matrices.

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14. Dado G el conjunto de todas las matrices de tamaño 2×2 con determinante

diferente de cero cuyas entradas son los enteros módulo 2. Muestre que G

es un grupo de orden 6 bajo la multiplicación de matrices.

15. Dado G el conjunto de todas las matrices de tamaño 2×2 con determinante

diferente de cero cuyas entradas son los enteros módulo 3. Muestre que G

es un grupo de orden 48 bajo la multiplicación de matrices.

16. Dado G el conjunto de todas las matrices de tamaño 2×2 con determinante

igual a uno, cuyas entradas son los enteros módulo 3. Bajo la multiplicación

de matrices, cuál es el orden

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