HESSIANOS

MATRIZ HESSIANA

INTRODUCCION.

ANTECEDENTES HISTORICOS.

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera “los jacobianos”. Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Sus padres fueron Johann Gottlieb Hesse, que era comerciante y fabricante de cerveza y Anna Karoline Reiter (1788-1865). Otto Hesse creció en la famosa ciudad de Königsberg donde asistió a la Old City Gimnasyum. Su padre murió en 1829 mientras él estaba en la escuela secundaria. Se graduó con un certificado de estudios en 1832 y luego ingresó en la Universidad de Königsberg.

En la universidad Hesse estudió matemáticas y ciencias naturales. Si no hubiera sido por las enseñanzas inspiradas de Jacobi, Hesse pudo haber elegido especializarse en un tema que no era la ciencia matemática. Sin embargo Hesse se graduó en 1837 con un título que le permitió enseñar matemáticas, física y química en las escuelas secundarias, y luego pasó un año como profesor de práctica en el Kneiphof Gymnasium en Königsberg. En el verano de 1838 viajó por Alemania e Italia, completando su educación.

Hesse siguió estudiando para su doctorado bajo la supervisión de Jacobi y se le concedió el título en Königsberg en 1840 después de presentar su tesis De octo punctis superficium Trium intersectionis ordinis secundi. En ese momento renunció a su puesto de profesor en la Escuela de Comercio. En el mismo año se casó con Marie Sophie Hesse Dulk Emilie, la hija de Friedrich Philipp Dulk (1788-1852) quien fue el profesor de Química en Königsberg, con Marie tuvo un hijo y cinco hijas.

En 1845, Hesse fue ascendido a profesor extraordinario en Königsberg y pasó sus años más productivos ahí publicando la mayor parte de su trabajo en Crelle's Journal. Muchos matemáticos famosos hicieron sus estudios de doctorado bajo la supervisión de Hesse. Estos incluyen Gustav Kirchhoff y Carl Neumann en Königsberg, pero también dio clases a varios otros estudiantes allí que después pasarían a ser matemáticos excepcionales como Siegfried Aronhold, Clebsch Alfred y Rudolph Lipschitz. En 1855 Hesse fue nombrado como catedrático en Halle, pero sólo ocupó este cargo durante un año ya que cuando le ofrecieron la presidencia a Heidelberg, para suceder a Fernando Schweins, estaba ansioso por aceptar para unirse a sus antiguos alumnos de Kirchhoff y Bunsen .

La obra principal de Hesse estuvo en el desarrollo de la teoría de funciones algebraicas y la teoría de invariantes.

Hesse estaba en deuda con las investigaciones de Jacobi en la transformación lineal de las formas cuadráticas por la inspiración y punto de partida de sus trabajos iniciales en la teoría de curvas cuadráticas y aviones. Para la prueba (una vez más influenciada por Jacobi) utilizó el nuevo desarrollo de determinantes que permitió a su presentación una elegancia nunca antes alcanzada.

De hecho Hesse introdujo el factor determinante de Hesse en un documento en 1842 durante una investigación de las curvas cúbicas y cuadráticas. Posteriormente este concepto se ha aplicado ampliamente en la geometría algebraica.

CONCEPTO DE MATRIZ HESSIANA.

Matriz. Es una disposición de elementos pertenecientes a un conjunto, en filas y columnas.

Matriz hessiana. Es una disposición de elementos pertenecientes a un conjunto, en filas y columnas donde cada escalar son derivadas parciales de funciones.

DEFINICION DE MATRIZ HESSIANA. (matriz de las segundas derivadas parciales).

Sea D un conjunto de Rn, a un punto interior de D, f: D! R una función que tenga segundas derivadas parciales continuas en el punto a. Entonces la matriz de las segundas derivadas parciales de la función f en el punto a,

(■((D1;1f)(a)… (D1;nf)(a)@.@(Dn;1f)(a)… (Dn;nf)(a) ))=(■((∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_1 )(a)&…&(∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_n )(a)@.&.&.@(∂^2 f)/(∂x_n ∂x_1 )(a)&…&(∂^2 f)/(∂x_n ∂x_n )(a)))

TEOREMAS.

Teorema de Schwarz Ejemplo (Continuación) Vemos que en este ejemplo ∂2f ∂2f (x , y ) = (x , y ) ∂x ∂z ∂z ∂x Se puede comprobar que esto se verica para todas las variables. Aunque esto no es cierto en general, el siguiente resultado proporciona condiciones sucientes bajo las cuales las derivadas cruzadas coinciden. Teorema (Schwarz) Supongamos que para algún i j , = 1...,n las derivadas parciales ∂f ∂2f ∂f ∂2f , , , ∂x i ∂x ∂x i j ∂x j ∂x ∂x j i existen y son continuas en una bola B p r ( , ) con r > 0. Entonces, para cada x en ( , ) la bola B p r , ∂2f ∂2f (x ) = (x ) ∂x ∂x i j ∂x ∂x j i Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () Semana 8 Tema 4: Derivadas de orden superior Curso 2009-2010 4 / 26

Teorema de Schwarz Denición Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → R. Decimos que f es de clase C 1 (D ) si todas las derivadas parciales ∂ x de f existen y son continuas ∂f i en D para todo i = 1 . . . , n . C 2 (D ) si todas las derivadas parciales de f existen y son de clase C 1 (D ). C k (D ) si todas las derivadas parciales primeras ∂f ∂ xi de f existen y son de clase C k −1 (D ) para todo i = 1 . . . , n. Escribimos f ∈ C (D ), k según el caso.

La Matriz Hessiana Denición Sea f ∈ C 2 (D ). La matriz Hessiana de f en p es la matriz ∂2f H f (p ) = D2 f (p ) = (p ) ∂ xi ∂ xj 1,...,n i ,j = En forma extendida, ∂2f ∂2f ∂2f 2 (p ) ∂ x1 ∂ x2 (p ) ∂ x1 ∂ xn ( p )   ∂ x1 ... 2f ∂2f ∂2f ∂ x2 ∂ x1 (p ) 2 (p ) ∂ x2 ∂ xn ( p ) ∂    ...  H f (p ) =   ∂ x2  . . .  . . .  . . ••• .  ∂2f ∂2f ∂2f   ∂ xn ∂ x1 (p ) ∂ x ∂ x2 (p ) . . . n 2 (p ) ∂ xn Observación Por el teorema de Schwarz, si f ∈ C 2 (D ) entonces la matriz H f (p ) es simétrica.

El Teorema de la función implícita Introducción En esta sección vamos a estudiar sistemas de ecuaciones no lineales. Por ejemplo, x 2 + ze xy + z = 1 (4.1) 3x + 2y + z = 3 En general, es muy difícil probar que existe solución (y no siempre existe) o resolver de manera explícita estos sistemas. Sin embargo, en Economía ocurre a menudo que el modelo que estamos estudiando aparece descrito por un sistema de ecuaciones como, por ejemplo, el sistema (4.1). Y nos gustaría poder decir algo sobre cómo depende la solución respecto de los parámetros. En esta sección estudiamos esta pregunta.

El Teorema de la función implícita Introducción En primer lugar observemos que, en general, un sistema de m ecuaciones y n incógnitas se puede escribir de la forma f1 (u ) = 0 f2 (u ) = 0 . . . fm (u ) = 0 donde u ∈ Rn f f y 1, 2, . . . , fm : Rn → R. Por ejemplo, el sistema (4.1) se puede escribir como f1 (u ) = 0 f2 (u ) = 0 con u = (x , y , z ), f1 (x , y , z ) = x 2 + ze xy + z − 1 y f2 (x , y , z ) = 3x + 2y + z – 3

26. El Teorema de la función implícita Introducción Una primera cuestión es cómo son las soluciones del sistema (4.1) Comparando la situación con un sistema lineal deberíamos esperar que podamos despejar dos variables en función de la otra, ya que hay 2 ecuaciones y 3 variables. Supongamos, por ejemplo que queremos despejar y , z (llamadas endógenas en economía) como funciones de x (llamada exógenaen economía). Esto puede ser complicado y en la mayoría de los casos imposible de manera explícita, como en este caso. En esta situación, el teorema de la función implícita Proporciona condiciones bajo las cuales podemos garantizar que el sistema (4.1) tiene solución, en el sentido de que determina dos funciones y (x ) y z (x ) que satisfacen las ecuaciones (4.1), incluso aunque no sepamos cómo se calculan esas funciones. Cuando el sistema de ecuaciones 4.1 tiene solución, nos permite encontrar una expresión para y (x ) y z (x ), incluso aunque no sepamos calcular y (x ), z (x ). Es lo que en economía se llama estática comparativa, pues permite ver cómo las variables endógenas del modelo cambian cuando varían, sea por decisiones gerenciales o por circunstancias no controladas, las variables exógenas.

El Teorema de la función implícita Introducción Entrando en materia, consideremos un sistema de ecuaciones f1 (u , v ) = 0 (4.2) f2 (u , v ) = 0 . . . fm (u , v ) = 0 donde u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn son las variables independientes y v = (v1 , . . . , vm ) ∈ Rm son las variables que queremos despejar1 y f1 , f2 , . . . , fm : Rn × Rm → R. A este sistema le asociamos la expresión, denida sobre la marcha,  ∂ f1 ∂ f1  ∂ v1 ••• ∂ vm ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) . . = det  . .   . . ∂ (v1 , . . . , vm )  ∂ fm ∂ fm ∂ v1 ••• ∂ vm 1 En el ejemplo (4.1) n = 1, m = 2, u = x, v = ( y , z ).

El Teorema de la función implícita Enunciado del teorema y observaciones Teorema (Teorema de la función implícita) Supongamos que las funciones f1 , f2 , . . . , fm : Rn × Rm → R son de clase C 1 y que existe un punto (u0 , v0 ) ∈ Rn × Rm que verica (1) fi (u0 , v0 ) = 0, i = 1, 2, . . . , m (2) ∂(v1 ,...,v ) (u0 , v0 ) = ∂(f1 ,f2 ,...,f ) m m 0 Entonces, existe un conjunto abierto U ⊂ Rn y unas funciones g1 , . . . gm : U → R tales que 1 Para todo u ∈ U, fi (u , g1 (u ), . . . , gm (u )) = 0, i = 1, 2, . . . , m. 2 Las funciones g1 , . . . gm : U → R son diferenciables, y para cada i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n se verica que ∂ gi ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) ∂ (f1 , f2 , . . . , fm ) =− (4.3)

...