INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD

Asignatura

Datos del estudiante

Fecha

ESTADISTICA II

Apellidos: Pérez Zúñiga

12/11/2021

Nombre: Wendy Pérez

INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD

DEFINICIÓN

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las opciones que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar. Es decir, La probabilidad es saber que tan opcional es que ocurra un evento determinado. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

La probabilidad se utiliza en muchas áreas como las matemáticas, la estadística, la física, la economía, las ciencias sociales, entre otras. Los primeros estudios de probabilidad se desarrollaron para resolver problemas de juegos y es allí donde más se nota su uso, porque te puede servir para tener más oportunidades de ganar, o para ahorrarnos dinero (al no jugar a juegos en los que es muy probable perder).

Se encarga de estudiar experimentos cuyos resultados no se pueden determinar con certeza. Este tipo de experimentos se conoce con el nombre de aleatorios.

HISTORIA

Siempre han estado en el diario vivir del ser humano, en todas las opciones que debían escoger para hacer una tarea o por querer conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro, es decir, hace miles de años solo que no había un significado como tal hasta en los años 1654 cuando los padres de la teoría de la  probabilidad (Pierre Fermat y Blaise Pascal) emitieron el concepto con la discusión que giraba en torno a ciertos juegos de azar relacionados con el lanzamiento de un dado y con juegos que involucran el reparto. aunque existen hechos históricos que datan en el año 1553 cuando Gerolamo Cardano hizo un libro sobre los juegos de dados, pero documentalmente comienza la historia de la probabilidad en el 1654.

Más adelante fueron surgiendo más aportantes como LAPLACE quién impulsaría definitivamente al campo de la probabilidad en 1812 y finalmente en el siglo XX con Kolmogorov y Borel brindaron grandes aportes que ayudaron a marcar el rumbo de la historia, esto no quiere decir que no hubo otros, sino que los mencionados fueron grandes influyentes.

TIPOS

• PROBABILIDAD CLÁSICA: es una herramienta utilizada en el área de estadística con la finalidad de proporcionar resultados con posibilidades de sucesos que podrían ocurrir más adelante, es decir anticiparse a los sucesos, generando mayor confianza y seguridad a los seres humanos a la hora de tomar decisiones. La probabilidad es expresada numéricamente y por medio de fórmulas, de ahí se dice que son cálculos matemáticos evaluadores de sucesos del azar y que siempre tendrán como características un experimento y el espacio muestral ya que estos son los que conforman los sucesos.

La fórmula de la probabilidad se muestra de la siguiente manera:

            P (A) = [pic 1]

La probabilidad clásica predice un resultado en base a todos los posibles sucesos que tenga un evento aleatorio, se encarga de distribuir equitativamente la probabilidad en cada uno de los sucesos que componen al espacio muestral, eso cambia si en el espacio muestral hay conjuntos en lugar de solamente sucesos individuales, pues al haber conjuntos formados por sucesos, habrán algunos conjuntos de sucesos (que también se toman como sucesos individuales) que tenga una mayor probabilidad de salir, pero esto no significa que la probabilidad no se distribuya equitativamente.

• PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA: se acercan a un límite cuando se repite el experimento muchas de veces. El valor del límite es la probabilidad del suceso.

Para un suceso A se escribe P(A) para representar su probabilidad.

Se han definido las probabilidades como límites de frecuencias, y se puede deducir las siguientes propiedades básicas que poseen las probabilidades:

• Para cualquier suceso A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• P(A) = ∑ i:ei∈A P(ei)
• P(Ω) = 1
• Si A y B son sucesos incompatibles (es decir que A y B = φ) entonces P(A o B) = P(A) + P(B).

De estas tres propiedades, se deduce que si A¯ es el suceso complementario a A, P(A¯)=1 − P(A)

• PROBABILIDAD SUBJETIVA: está basada en la experiencia individual. La persona evalúa las posibilidades y le otorga los valores de acuerdo a los hechos que conoce con anterioridad, es decir, se basa en su experiencia. La persona mide el grado de probabilidad según lo que cree que le otorga a cada resultado posible, es más que todo usada en situaciones más normales y no tanto es situaciones serias, como podría ser un análisis de un reporte importante, o para tomar una decisión en un empresa, sino que es especialmente usada en cosas de la vida cotidiana que no tengan una trascendencia muy importante, la probabilidad subjetiva es la que más conectada esta con el sentimiento humano antes que con los datos o hechos, la probabilidad subjetiva puede ser muy influenciada con el estado de ánimo o la fe de la persona.
• PROBABILIDAD MARGINAL: es la distribución de probabilidades de un subconjunto de variables aleatorias, de un determinado conjunto. Es decir, la distribución marginal proporciona la probabilidad de un subconjunto de valores del conjunto, sin necesidad de conocer los valores de las otras variables, esto contrasta con la distribución condicional, que proporciona probabilidades contingentes sobre el valor conocido de otras variables.[pic 2]

La distribución marginal de X es simplemente la función de probabilidad de x, pero la palabra marginal sirve para distinguirla de la distribución conjunta de X e Y.

Una distribución marginal nos da la idea de la forma como depende una probabilidad con respecto a una sola variable.

• PROBABILIDAD CONJUNTA: La probabilidad condicional estudiada nos conduce a observar reglas de probabilidad para sucesos conjuntos, es decir, la probabilidad de que dos o más sucesos aparezcan al mismo tiempo.

Dado que:[pic 3]

Se debe introducir en este momento un concepto nuevo: el de sucesos independientes.

Dos sucesos se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no es afectada por la ocurrencia del otro. Luego[pic 4]

• PROBABILIDAD CONDICIONAL: Hay situaciones en las que interesa calcular la probabilidad de sucesos que tienen cierta información con respecto a un experimento. Dicha información reduce el espacio muestra original a uno de sus subconjuntos. De esta forma la probabilidad de un suceso será diferente si se tiene o no información adicional. Así, por ejemplo, un animal elegido de aquellos que están vacunados tendrá una probabilidad mayor de no contraer la enfermedad que aquel seleccionado entre el conjunto total de animales. Este tipo de probabilidad se denomina probabilidad condicional y se expresa: 

P(A / B)

Que se lee: probabilidad de que habiendo ocurrido B ocurra A, o probabilidad de A habiendo ocurrido B.

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S, entonces:

P (A|B) =   =   donde P(B) > 0[pic 5][pic 6]

y

P(A|B) =   =   donde P(A) > 0[pic 7][pic 8]

y ( )( ) ( | ) () 0 () () PB A PByA P B A donde P A PA PA ∩ == > .

EL TEOREMA DE BAYES: es un método que se usa en probabilidad el cual es útil para encontrar una probabilidad condicionada, esto quiere decir que se calcula la probabilidad de un suceso cuando ya ha ocurrido otro suceso que afecta la probabilidad del primer suceso.

Cómo el teorema de Bayes se usa cuando hay múltiples sucesos que están relacionados, una herramienta que se usa para poder entender mejor las relaciones que hay entre sucesos son los diagramas de árbol

REGLAS DE PROBABILIDAD
Son reglas que ayuda mucho en el cálculo de probabilidades, permiten la suma, resta, división y multiplicación de la probabilidad de un evento o suceso, relacionan la probabilidad de un evento dependiente o independiente y obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.

Existen 2 tipos de reglas fundamentales que ayudan mucho a resolver problemas que puedan determinar la probabilidad de un suceso que están relacionados con él.

Dado cualquier evento imaginable, puede ocurrir una de tres cosas: 1. es imposible que ocurra. 2. es seguro que ocurre. 3. la certeza de que ocurra está en un punto intermedio. Por lo tanto, podemos deducir lo siguiente: 1. La probabilidad de un evento imposible es 0. 2. La probabilidad de un evento que ocurrirá de seguro es 1. 3. Para cualquier evento A, la probabilidad de que A ocurra se encuentra entre 0 y 1, inclusive. Es decir, 0 () 1 ≤ ≤ P A .

• REGLA DE LA ADICIÓN: la probabilidad de un evento compuesto es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo conforman, es decir, expresa la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, se usa para calcular la probabilidad de conjunto con intersección, los eventos mutuamente excluyentes y los eventos no mutuamente excluyentes.

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S, entonces

P(A o B) = P(A)+ P(B)- P(A y B)

donde P(A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo.

En la notación de conjuntos, la regla de la suma es:

P (A∪B = P(A) + P(B) − P(A∩B)

• REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: permite encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos al mismo tiempo, es decir, concierne a la probabilidad de dos eventos sucediendo al mismo tiempo, se usa para calcular la probabilidad de los eventos dependientes e independientes, a partir de que la ocurrencia del uno afecte o no la ocurrencia del otro. Si los eventos son INDEPENDIENTES no ejercen influencias entre sí, entonces la probabilidad de que sucedan los dos es igual al producto de sus respectivas probabilidades y si son DEPENDIENTES.

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S, entonces

P (A∩B) = P (A y B) = P(A).P(B|A)

o

P (A∩B) = P (A y B) = P(B) . P(A|B)

EVENTOS

Llamamos evento a cualquier conjunto de uno o más resultados u observaciones de un experimento, es decir, es un subconjunto de un espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.

Cuando decimos "Evento" nos referimos a uno (o más) resultados.

Se clasifica en:

• MUTUAMENTE EXCLUYENTE: los eventos no pueden suceder al mismo tiempo, es uno u otro, pero no ambos, ósea es imposible que ocurran juntos.

Se dice que los eventos E1, E2, ..., En son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos implica la no ocurrencia de los otros n − 1 eventos. Por lo tanto, no pueden suceder simultáneamente dos eventos mutuamente excluyentes. En lenguaje formal, la intersección de cada par de ellos es vacía (el evento nulo): A ∩ B = ∅. Por lo tanto, los eventos mutuamente excluyentes tienen la propiedad que:

P(A ∩ B) = 0.

Por ejemplo, no puedes correr hacia adelante y hacia atrás simultáneamente.

• NO EXCLUYENTE: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Siendo:

P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento

AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento

BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

La fórmula es P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B).

• INDEPENDIENTE: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, es decir, cada evento no se ve afectado por otros eventos.

O sea:

P (A|B) = P (A) o P(B|A) = P(B)

De la definición de probabilidad condicional se obtiene la siguiente definición equivalente:

Dos eventos A y B son independientes si:

P (A∩B) = P (A).P(B)

• DEPENDIENTE: también llamado "Condicional", donde un evento se ve afectado por otros eventos. Cuando tenemos eventos dependientes, ayuda hacer un diagrama de árbol.

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

 P ( A y B ) = P ( A ) · P ( B )

• COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO: eventos aleatorios diferentes que conjuntamente contiene todos los resultados básicos en el espacio muestral,  colectivamente-exhaustivo si debe de ocurrir uno de los eventos. por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento, incluye todos los resultados posibles de un experimento.
• COMPLEMENTARIO: son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles, Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

Su intersección da como resultado el conjunto vacío (∅). La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Es decir que 2 eventos con esta característica, abarcan por completo la posibilidad de sucesos de un experimento.

TECNICAS DE CONTEO

Permiten determinar el número total de resultados que puede haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.

METODO DE LA MULTIPLICACIÓN: este principio se utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, está conformada por eventos que ocurren de forma ordenada.

Ejemplo: como son la construcción de una casa, el elegir los pasos de baile en una discoteca o el orden que se seguirá para preparar un pastel.

Permite comprender fácilmente y de forma práctica cómo funcionan estos métodos matemáticos.

Si un evento, llamémoslo N1, puede ocurrir de varias formas, y otro evento, N2, puede ocurrir de otras tantas, entonces, los eventos conjuntamente pueden ocurrir de N1 x N2 formas.

METODO DE LA ADICIÓN: En este caso, en vez de multiplicarse las alternativas para cada evento, lo que sucede es que se suman las varias formas en las que pueden ocurrir.

Esto quiere decir que, si la primera actividad puede ocurrir de M formas, la segunda de N y la tercera L, entonces, de acuerdo a este principio, sería M + N + L.

Para saber si se debe utilizar el principio multiplicativo o el aditivo, la pista principal es si la actividad en cuestión tiene una serie de pasos a realizarse (MULTIPLICACIÓN) o existen varias opciones (ADICIÓN)

PERMUTACIONES: hay un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición.

En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r.

La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: ¡nPr = n!/(n-r)!

COMBINACIONES: es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final.

La fórmula a aplicar es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r!