Inecuaciones de segundo grado

Inecuaciones de segundo grado

Dificultad: [pic 1]

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..

Ejemplo

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:

2x2−x<2x−1

donde podemos observar que el término 2x2 es el termino cuadrático, característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir.

Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la fórmula:

x+=−b+b2−4ac−−−−−−−√2ax−=−b−b2−4ac−−−−−−−√2a

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de b2−4ac−−−−−−−√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

• Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad).
• Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
• Puede ser que tengamos tres opciones:

• Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

• Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la inecuación.
• Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no tiene solución.

Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la grafica se encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.

• Si sólo tenemos una solución, haremos:

• Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0

⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1

Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

Así que la solución de la inecuación serán los x que cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería tener como región solución toda la recta real.

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