Ingeneria en energias renovables

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Introducción:

     Una determinante se utiliza para determinar la unidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

     Como se acaba de decir una determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas, y es un número real consisten en la suma de los productos elementales de una matriz.

     El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos.

     La fórmula general para definir una determinante de una matriz 2x2 nos da un resultado de una multiplicación cruzada de los elementos de la matriz siendo un escalar. Dicho escalar permite obtener información sobre la matriz, por ejemplo: el determinante de una matriz puede indicar si una matriz es invertible o no.

     Se debe advertir mientras mayor es la matriz, mayor es el número de operaciones que se debe realizar para encontrar su determinante. Los menores se pueden obtener utilizando cualquier fila o cualquier columna de una matriz, quizá los cálculos sean diferentes, pero el resultado final siempre será el mismo.

     En este trabajo, aprenderemos las propiedades de los determinantes, suma y resta de determinantes, comparación de determinantes, determinantes proporcionales y por último estudiaremos el teorema de la regla de Cramer, que es un teorema del algebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos determinantes.

Ejercicio 1 usando menores cofactores determinar el valor de la determinante A y B:

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Para este ejercicio lo primero que haremos será, descomponer nuestra matriz en varios componentes 2x2 en todas las filas y todas las columnas, por lo tanto:

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Procedemos a resolver recordando que es el resultado de la primera diagonal menos el resultado de la diagonal secundaria:

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Con los resultados obtenidos, creamos una segunda matriz, pero siguiendo la ley de los cofactores, nos quedaría:

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Teniendo esto cambiamos la matriz con sus respectivos símbolos:

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Por último, ahora solo nos queda multiplicar fila por fila y columna por columna de la matriz actual con la inicial, esto quiere decir que, si quieres saber el resultado, solo debes multiplicar la fila 1 de la antigua matriz con la fila una de la actual, lo mismo pasa con las columnas, podemos multiplicar la columna 3 de la antigua matriz con la de la actual, y todas deben dar el mismo resultado:

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El resultado de todas las filas multiplicadas con sus mismas filas y columnas por columnas debe darnos a -32, siendo esta la respuesta.

Ahora haremos lo mismo con la matriz B:

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Procedemos a descomponerla:

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Resolvemos:

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Creamos nuestra nueva matriz y la convertimos con cofactores

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Tomamos cualquier fila y cualquier columna para hacer la prueba de que el resultado es correcto:

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Ejercicio 2. Determine los valores de X, Y y Z de las siguientes ecuaciones lineales utilizando la regla de cramer:

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Tomamos nuestra primera matriz y le sacamos su determinante mediante la regla de Sarrus:

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Con la matriz extendida procedemos a resolver diagonales principales (2,5,-2), (4,1,6), (3,4,6) y secundarias (6,5,3), (6,1,2), (-2,4,4):

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La determinante de nuestro sistema es 6:

Para proseguir, la columna x estará representada por los términos independientes, todo lo demás seguirá sin cambio y con la regla de Sarrus repetiremos las dos primeras columnas al lado de la tercera:

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Resolvemos diagonales principales (18,5,-2), (4,6,4), (6,24,1) y secundarias (6,5,4), (18,6,1), (4,24,-2):

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La determinante de x es 24:

Proseguimos con la columna Y que será remplazada por los términos independientes y con la regla de Sarrus repetiremos las dos primeras filas debajo de la tercera:

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Sacamos los resultados de las diagonales principales (2,24,-2), (4,4,6), (3,18,6) y secundarias (6,24,3), (6,4,2), (-2,18,4):

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La determinante de Y es -12:

Por ultimo haremos lo mismo con la columna Z remplazándola por los términos independientes y con la regla de Sarrus, repetiremos las dos primeras filas al lado de la tercera:

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Resolvemos sus diagonales principales (2,5,4), (4,24,3), (18,4,1) y secundarias (18,5,3), (2,24,1), (4,4,4):

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La determinante de Z es 18:

Para encontrar los valores de las incógnitas dividiremos cada determinante sobre la determinante del sistema:

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Procedemos con la segunda matriz:

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Le sacamos la determinante del sistema:

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Ampliamos la matriz con la Regla de Sarrus repitiendo sus primeras dos filas debajo de la tercera:

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Resolvemos sus diagonales principales (3,-1,3), (5,3,4), (4,2,-3) y secundarias   (4,-1,4), (-3,3,3), (3,2,5):

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40 es la determinante del sistema.

Para sacar la determinante de x, removeremos su columna sustituyéndola por los términos independientes y con la Regla de Sarrus repetiremos las dos primeras columnas al lado de la tercera:

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Resolvemos sus diagonales principales (1,-1,3), (2,-3,2), (4,-7,3) y secundarias  (4,-1,2), (1,-3,3), (2,-7,3):

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La determinante de X es -40:

Proseguimos con Y cambiando su columna por los términos independientes y con la regla de Sarrus repetimos las dos primeras filas debajo de la tercera:

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