Integral De Duhamel

INTEGRAL

DE

DUHAMEL

Y

ESPECTROS

DE

RESPUESTA

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

La ecuación que gobierna el movimiento de un sistema simple (Figura 1) sujeto a la aceleración del suelo üg(t) es la ecuación 4.8; dividiendo esta ecuación por la masa se obtiene:

(1)

Figura 1 Sistema simple de un grado de libertad (SDF)

Está claro que para una üg(t) dada, la respuesta u(t) del sistema depende solo de la frecuencia natural, wn, o del periodo natural del sistema, Tn, y del amortiguamiento, es decir . La aceleración del suelo durante un sismo varía irregularmente, por tal motivo la solución analítica de la ecuación de movimiento debe ser descartada, por tanto es necesario el empleo de métodos numéricos para determinar la respuesta estructural.

INTEGRAL DE DUHAMEL

Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es:

Para t > (2)

En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u durante el intervalo de tiempo dt.

El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración d, es decir:

(3)

esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.

En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo y se añade la respuesta en vibración libre a la solución, entonces se tiene:

(4)

Usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:

(5)

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales, y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad trigonométrica para reformular la ecuación 7.2:

ó

(6)

donde:

(7)

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración libre iniciada por un impulso diferencial p()•d esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo estableciendo u(0)=0 y en la ecuación 4.15 da:

(8)

la respuesta de la carga total arbitraria es:

(9)

para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma similar a la ecuación 7.4:

(10)

donde en este caso:

(11)

Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p() toma el valor de:

ESPECTRO DE RESPUESTA

1 Cantidades de Respuesta

La deformación del sistema o el desplazamiento relativo u(t) de la masa es la respuesta de mayor interés por estar relacionada linealmente a las fuerzas internas (momentos flexionantes, cortantes en vigas y columnas).

2 Histograma de Respuesta

Para una üg(t) del suelo, la respuesta de deformación u(t) de un SDF depende sólo de Tn y del amortiguamiento del sistema. La Figura 2a muestra la respuesta de deformación de tres diferentes sistemas debido a la aceleración del suelo de El Centro, notándose la deformación pico en cada caso; se observa que de estos tres sistemas, aquel que tiene el Tn mayor también tiene la deformación pico más grande.

La Figura 2b muestra la respuesta de deformación de tres sistemas sujetos al mismo movimiento; en ésta se hace variar el amortiguamiento y el Tn se mantiene constante, se observa que la respuesta del sistema con mayor amortiguamiento es menor que la del sistema con amortiguamiento leve.

Una vez que se ha evaluado la respuesta de deformación u(t) por análisis dinámico de la estructura, las fuerzas internas pueden determinarse mediante un análisis estático de la estructura en cada instante de tiempo. Basado en el concepto de la Fuerza Estática Equivalente fs:

(12)

Donde k es la rigidez lateral del sistema, y expresada la ecuación anterior en términos de la masa se tiene:

(13)

donde:

Figura 2 Respuesta de deformación de un sistema SDF para el sismo del Centro

(14)

A(t) es llamada seudo aceleración o aceleración espectral del sistema, cuya respuesta puede ser calculada a partir de la respuesta de desplazamiento, u(t); dicho concepto es ilustrado en la Figura 3.

Figura 3 Respuesta de seudo aceleración de un sistema SDF al sismo del Centro

Para un pórtico

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