LA INTEGRAL IMPROPIA

LA DIMENSIÓN EPISTEMOLÓGICA DE cEN EL DISEÑO DE SECUENCIAS DE ENSEÑANZA

Alejandro S. González-Martín (Université de Montréal – Canadá)

Carlos Correia de Sá (Universidade do Porto – Portugal)

Mostramos las fundamentos del diseño de una secuencia de enseñanza del concepto de integral

impropia, que trata de mejorar su comprensión en los estudiantes universitarios. Esta secuencia se

basa en análisis de tres dimensiones del concepto: didáctica, cognitiva y epistemológica.

Mostramos los resultados principales del análisis epistemológico (con énfasis en el uso del registro

gráfico) y cómo éstos proporcionaron una base para crear nuestra secuencia de enseñanza.

1.- INTRODUCCIÓN

Para definir la integral de Riemann de una cierta función f(x) en un intervalo [a, b], se necesita

que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la función esté acotada dentro del

intervalo. Cuando una de estas dos condiciones no se cumple, se define la integral impropia como

una generalización de la integral de Riemann. Este concepto, de múltiples aplicaciones

(probabilidades, normas funcionales, transformadas de Fourier, …), ofrece una gran resistencia a

los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos

algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia (González-Martín, 2002). Para hacer

frente a esta situación, decidimos crear una secuencia de enseñanza para ayudar a los estudiantes a

aprender este concepto coordinando los registros gráfico y algebraico, dándole así más significado.

Nuestra secuencia de enseñanza juega a la vez el rol de instrumento de investigación; por ello, se

decidió utilizar una ingeniería didáctica (Artigue, 1992). Esta metodología desarrolla análisis,

previos a la construcción de la secuencia de enseñanza, de tres dimensiones clásicamente

consideradas: epistemológica, didáctica y cognitiva. Nuestra revisión de bibliografía (ver González-

Martín, 2006) nos mostró que el aprendizaje de la integral impropia no ha sido directamente

abordado por la investigación internacional, por lo que el estudio de la dimensión cognitiva (ver

sección 4) resultó de gran utilidad para identificar algunas dificultades y obstáculos. Este artículo da

algunos breves detalles de los análisis cognitivo y didáctico y se centra más en el análisis

epistemológico, dando algunos detalles de procedimientos utilizados históricamente por los

matemáticos para calcular áreas infinitas. Los resultados de estos tres análisis serán utilizados para

describir los fundamentos principales de la secuencia de enseñanza que construimos para mejorar la

comprensión de las integrales impropias en nuestros estudiantes.

2.- MARCO TEÓRICO

El diseño de nuestra ingeniería didáctica se basa en la teoría de las situaciones didácticas de

Brouseau (1988) y en la importancia dada a las variaciones del contrato didáctico usual.

En cuanto a la parte cognitiva, una de nuestras principales elecciones fue el uso del registro

gráfico para mejorar la comprensión de nuestros estudiantes, motivada por los resultados

encontrados en la historia. Sin embargo, varios resultados de investigación han señalado la

reticencia (que parece ser mayor en el nivel universitario) que tienen los estudiantes de matemáticas

para utilizar el registro gráfico cuando tienen que resolver problemas. Mundy (1987) ha señalado

que los estudiantes normalmente sólo tienen una comprensión mecánica de los conceptos básicos

del Análisis porque no han alcanzado una comprensión visual de las nociones básicas subyacentes.

Nuestros resultados (González-Martín & Camacho, 2004) muestran también que las preguntas no

algorítmicas planteadas en el registro gráfico plantean grandes dificultades para los estudiantes;

incluso muchos no reconocen el registro gráfico como un registro para el trabajo matemático.

Por estas cuestiones, nuestro trabajo considera también la teoría de Duval (1995) de los registros

de representación semiótica y la importancia de la coordinación de al menos dos registros (en

nuestro caso, algebraico y gráfico) para lograr una buena comprensión de los objetos matemáticos.

3.- DIMENSIÓN DIDÁCTICA DE LA INTEGRAL IMPROPIA

Nuestro análisis de ciertos manuales (González-Martín, 2006) nos permitió ver que las integrales

impropias son normalmente presentadas de forma algorítmica, poniendo énfasis en el aprendizaje y

la aplicación de criterios de convergencia y utilizando sólo el registro algebraico.

En países como España, los primeros programas de Matemáticas de muchas universidades fueron

inspirados por la Reforma de las Matemáticas Modernas, cuyo paradigma (aún vigente en muchos

casos) era enseñar los conceptos matemáticos de forma algebraica y algorítmica. Este paradigma,

lejos de las ideas intuitivas y geométricas, oculta los métodos históricos utilizados para calcular

áreas infinitas. La siguiente sección resume algunas consecuencias de este tipo de enseñanza.

4.- DIMENSIÓN COGNITIVA DE LA INTEGRAL IMPROPIA

González-Martín (2002) muestra los resultados de nuestra investigación sobre la dimensión

cognitiva de la integral impropia, además de identificar algunas dificultades, obstáculos y errores

que aparecen durante su aprendizaje. Algunos resultados de esta investigación fueron:

1. Muchos estudiantes no coordinan los registros gráfico y algebraico; algunos no aceptan el

registro gráfico como un registro matemático válido (González-Martín & Camacho, 2004).

2. Muchas dificultades para comprender el concepto de integral impropia provienen de dificultades

con los conceptos de límite, convergencia e integral de Riemann.

3. Muchos estudiantes usan sólo modelos estáticos para concebir los procesos límite, lo que puede

producir dificultades para comprender ®¥ ®¥ ∫

= x

x x a

limF(x) lim f (t).dt .

También identificamos el obstáculo siguiente, inherente a la integral impropia:

Ligación a la compacidad: tendencia a creer que una figura encerrará un área (o volumen) finita

si y sólo si la figura es cerrada y acotada.

Algunas de estas dificultades y obstáculos parecían profundamente ligados al concepto de

integral impropia, por lo que un análisis de la dimensión histórico-epistemológica

...