Introducción A La Teoría Relatividad

Introducción a la teoría de la Relatividad y los Agujeros negros

Breve resumen por Pablo J.

a) Introducción :

Vamos a estudiar un objeto que parece de reciente concepción pero que ya fue concebido hace más de dos siglos.

En su concepción inicial, un agujero negro era un objeto con una fuerza de gravedad en su superficie tan grande que nada puede escapar de él; ni siquiera la luz si es que ésta estuviera afectada por la gravedad (cosa que hace 200 años no se sabía). Antes de medir la velocidad de la luz y de la teoría de la relatividad, por medio de la cual se demostró que nada puede sobrepasar la velocidad de la luz, se pensaba que un cuerpo podía alcanzar una velocidad infinita y por lo tanto el agujero negro era un cuerpo en el que la velocidad de escape era infinita también. Esto sólo podía ocurrir cuando se tratara de un astro de masa infinita o de densidad infinita. Se trataba de casos fuera de la lógica y por ello no se le dio importancia al asunto siendo aparcado en el ovido por la mayoría de los científicos.

Pero con la teoría de la relatividad especial la velocidad máxima que puede alcanzar un cuerpo es la de la luz, y entonces se puede pensar que el agujero negro ya puede tener un volumen y una masa finitas, puesto que la velocidad de escape será finita.

Como veremos la relatividad especial nos lleva otra vez a un agujero negro puntual, debido a que la velocidad de escape desde el punto de vista relativista nunca puede superar la velocidad de la luz.

De todos modos ya se había descubierto que la luz no es simplemente una partícula, y por ello no podemos aplicarle la idea de velocidad de escape. Pero es desde el punto de vista de la relatividad general de Einstein cuando se deducen las consecuencias más interesantes para los cuerpos de masa extrema, volviendo a ser factible la idea de un agujero negro no puntual. Aparece el llamado horizonte de sucesos, región del espacio alrededor del agujero cuya curvatura en el espacio tiempo impide que nada escape; ni siquiera la luz.

Además ya no se piensa que el hecho de que un cuerpo colapse hasta ocupar el volumen de un punto sea algo absurdo. Para aclarar ideas comenzaremos viendo como se pueden formar los agujeros negros, continuando luego con un análisis relativista de los agujeros negros.

b) ¿Cómo se forman los agujeros negros?

Supongamos una estrella como el sol que va agotando su combustible nuclear convirtiendo su hidrógeno a helio y este a carbono, oxígeno y finalmente hierro llegando un momento en que el calor producido por las reacciones nucleares es poco para producir una dilatación del sol y compensar así a la fuerza de la gravedad. Entonces el sol se colapsa aumentando su densidad, siendo frenado ese colapso únicamente por la repulsión entre las capas electrónicas de los átomos. Pero si la masa del sol es lo suficientemente elevada se vencerá esta repulsión pudiéndose llegar a fusionarse los protones y electrones de todos los átomos, formando neutrones y reduciéndose el volumen de la estrella no quedando ningún espacio entre los núcleos de los átomos. El sol se convertiría en una esfera de neutrones y por lo tanto tendría una densidad elevadísima. Sería lo que se denomina estrella de neutrones.

Naturalmente las estrellas de neutrones no se forman tan fácilmente, ya que al colapsarse la estrella la energía gravitatoria se convierte en calor rápidamente provocando una gran explosión. Se formaría una nova o una supernova expulsando en la explosión gran parte de su material, con lo que la presión gravitatoria disminuiría y el colapso podría detenerse. Así se podría llegar a lo que se denomina enanas blancas en las que la distancia entre los núcleos atómicos a disminuido de modo que los electrones circulan libres por todo el material, y es la velocidad de movimiento de estos lo que impide un colapso mayor. Por lo tanto la densidad es muy elevada pero sin llegar a la de la estrella de neutrones. Pero la velocidad de los electrones tiene un límite: la velocidad de la luz; y cuando el equilibrio estelar exige una velocidad de los electrones superior a la velocidad de la luz, el colapso a neutrones es inevitable.

Se ha calculado que por encima de 2'5 soles de masa, una estrella de neutrones se colapsaría más aún fusionándose sus neutrones. Esto es posible debido a que el principio de exclusión de Pauli por el cual se repelen los neutrones tiene un límite cuando la velocidad de vibración de los neutrones alcanza la velocidad de la luz.

Debido a que no habría ninguna fuerza conocida que detuviera el colapso, este continuaría hasta convertir la estrella en un punto creándose un agujero negro. Este volumen puntual inplicaría una densidad infinita, por lo que fue rechazado en un principio por la comunidad científica, pero S. Hawking demostró que esta singularidad era compatible con la teoría de la relatividad general de Einstein

c) La Teoría de la Relatividad Especial y los agujeros negros :

Es posible hallar la relación entre la masa y el radio de un agujero negro esférico teniendo en cuenta que la velocidad máxima que puede alcanzar un objeo, según la teoría d ela relatividad, es la velocidad de la luz.

La velocidad de escape en la superficie de un astro esférico será la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto para mantenerse en órbita alrededor del astro. Esto ocurrirá cuando la energía cinética del objeto sea igual a la energía potencial debida a la atracción gravitatoria del astro.

La energía cinética según la mecánica clásica es (1)

y la energía potencial gravitatoria es (2)

siendo v la velocidad del objeto en órbita, m la masa del objeto en órbita, M la masa del astro, r la distancia desde el centro del astro hasta el punto donde se encuentra el objeto en órbita y G la constante de gravitación universal.

Igualando la energía potencial con la energía cinética y despejando la velocidad obtenemos la ecuación de la velocidad de escape:

(3)

entonces para una velocidad de escape igual a la velocidad de la luz c y despejando M/r de la anterior fórmula obtenemos

(4)

como c=2.99793 x 108 m/s y G=6.6732 x 10-11 Nm²/kg² obtenemos que

M/r=6.734 x 1026 kg/m

que será la relación entre la masa y el radio de un cuerpo esférico para que sea un agujero negro. Con esta relación podemos hallar el radio que deberían tener diversos objetos estelares para ser un agujero negro.

TABLA DE RADIOS CORRESPONDIENTES A AGUJEROS NEGROS

MASA RADIO

1 sol (2 x 1030 Kg) 3 Km

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