Introducción a la Integración

5.1 Introducción a la Integración

La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.

Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).

Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.

El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,

dy = f(x) dx = d [F(x)]

O,

y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x)

Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).

Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.

La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

Por ejemplo,

F(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como,

F(x) dx = F(x) = F (b) – F(a)

Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración.

Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d (5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4

Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.

Esto significa que durante la integración la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.

Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.

Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dx

El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx

(P3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9 = 381957187929

5.2 Integral de Línea

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas x e y. Y la función es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva nómbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa.

Trace una línea recta entre cada par de estos puntos de muestra.

Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r (ti)) y anchura sí.

Tomando la sumatoria de tales términos con límite.

Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.

Incluso la ley del electromagnetismo de Faraday está inspirada en la integral de línea misma.

También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo,

Para

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