Investigación del Modelo Matemático Cables Suspendidos

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Tarea 2: Investigación del Modelo Matemático Cables Suspendidos

Equipo 10

Alumno:

Rosales Montiel Armando

Docente:

 De La Cruz Ramírez Heriberto

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Pachuca, Departamento de Metal Mecánica,

Ingeniería Mecánica, Materia: Ecuaciones Diferenciales

22 de febrero del 2021

Modelo Matemático Cables Suspendidos

Cuando se habla de catenarias normalmente se piensa en los cableados eléctricos que vemos colgar de poste a poste, pero en matemáticas esto se refiere más a una curva que sigue la forma que tienen las cadenas o cuerdas con densidad uniforme y flexibilidad perfecta sujetas en dos extremos y soportando su propio peso.

Para comenzar debemos conocer la diferencia que existe entre una parábola y una catenaria, una catenaria es una curva que se forma al suspender un cable, una cuerda o una cadena entre dos puntos y en esta misma solo actúa su propio peso. A diferencia de esta una parábola tiene una ecuación de la forma  y para una catenaria su forma está dada por otra fórmula completamente distinta  aunque ambas tienen cierta forma similar, aunque su diferencia radica en sus tangentes en una catenaria su tangente tiende a la verticalidad y en la parábola esto tiende a tener una constante. Esto ocasiona que para una catenaria para valores infinitos de “y” existan valores limitados para “x” pero para la parábola que existan valores infinitos para “y” y valores infinitos para “x”. [pic 4][pic 5]

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La de color rojo es una catenaria y la de azul una parábola

Surgimiento de la catenaria

Todo comenzó con querer conocer y describir matemáticamente la forma que adoptaban las cuerdas, cadenas suspendidas y el cómo se encorvaban estas debido a su propio peso, de los primeros en analizar esto fue Galileo en 1638 quien al platear un problema erro en su solución, el asumió que se trataba de una parábola, después en 1669 el matemático Joachin Jungius demostró lo contrario que una cadena colgante no puede tener la forma de una parábola. Tiempo después el suizo Jakob Bernoulli en 1690 propone un desafío en una revista científica de esos años el cual consistía en hallar la fórmula que definiera la curva de la cadena colgante. Un año después su propio hermano Johann Bernoulli y Christiaan Huygens hallan esta fórmula y durante estas investigaciones fue que por primera vez se usa el termino catenaria refiriéndose a una familia de curvas en una carta de Huygens a Leibnitz.

Modelo Cables Suspendidos

Para comenzar a plantear nuestro modelo matemático debemos comenzar a imaginar o pensar en ejemplos de la vida real en donde podemos observar estos fenómenos como ya se dijo anteriormente los cables de la red eléctrica que va de poste a poste, los tirantes de un puente colgante, etc.

Mas precisamente en una cuerda que soporte su propio peso. Tomamos su forma y en este caso analizaremos una parte es este que será el punto más bajo (P1) de este y cualquier otro punto que se encuentre en el mismo trazo (P2) esto será un segmento de nuestra curva. [pic 7]

Colocaremos el eje "y” sobre el punto más bajo y el eje “X” a nivel de suelo y ahora usaremos la estática para a partir del análisis determinar las fuerzas que actúan en nuestro diagrama de cuerpo libre por lo que encontraremos una fuerza T1 tangente al punto P1, otra fuerza T2 en el punto P2 que es tangente a este y su mismo peso. Ahora con la estática comenzaremos un análisis de fuerzas por lo que se descompondrá la fuerza T2    [pic 8][pic 9]

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Haciendo la debida sumatoria de fuerzas y analizando nuestro diagrama se puede verificar o llegar a lo siguiente debido a que el sistema está en equilibrio.

  (1)                y              (2)[pic 11][pic 12]

Ahora realizaremos algo interesante dividiremos ambas ecuaciones miembro a miembro la ecuación 1 entre la 2[pic 13]

                                                                                      [pic 14][pic 15]

Ahora recordemos de cálculo diferencial el cómo calculamos la pendiente de la recta tangente en un punto especifico                                       [pic 17][pic 16]

                                                                [pic 18]

                                                               Conociendo esto se puede determinar que [pic 19][pic 20]

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Ahora bien, sucede algo curioso, existen varios casos en los que aplicamos este modelo cada uno es diferente todo esto en función de cómo manejemos w nuestro peso del cable por lo que explicaremos uno con su respectivo ejercicio.

Caso: Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de su longitud (Catenaria)

Ahora explicaremos un caso en el que el cable tiene cargas distribuidas uniformemente a lo largo de su longitud, por lo que podemos decir que nuestro cable tiene fuerzas iguales y paralelas separadas por espacios uniformes y distribuidas en toda su longitud. A esta forma que se crea se le conoce como catenaria.

Para comenzar hay que interpretar que sobre el cable actuará una fuerza w ds donde w (densidad de línea) será constante y ds será el cambio de longitud de curva por lo que el peso estará dado por w*s (densidad de línea por longitud de curva). Podemos interpretar esto con un diagrama algo parecido al que realizamos anteriormente, pero hay que tener en cuenta los cambios. [pic 22]

Ahora en el diagrama vemos representado ws y la longitud de nuestra curva por lo que cambiara nuestro modelo a:

    Pero (s) es la longitud de P1 a P2 por lo que:    [pic 23][pic 24]

Ahora que queremos conocer el cambio de esa curva con respecto a x lo que haremos será derivarla con respecto a x y la ecuación anterior hallaremos su segunda derivada para facilitar las cosas. [pic 25][pic 26]

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Nos queda  

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