JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Y EN FORMA NORMAL

JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Y EN FORMA NORMAL

 ENUNCIADO

1. En la 1ª jugada el jugador I elige un número x{1,2}; en la 2ª jugada el jugador II, conociendo el número x elegido en la anterior jugada, elige un número y{1,2}; en la 3ª jugada el jugador I, conociendo el número y elegido en la 2ª jugada y recordando el número x que eligió en la 1ª, selecciona un número z{1,2}. Una vez elegidos los tres números x, y y z, el jugador II paga al jugador I la cantidad M(x,y,z), siendo M la función dada por:

M(1,1,1) =  2, M(1,1,2) = 1, M(1,2,1) = 3, M(1,2,2) = 4

M(2,1,1) = 5, M(2,1,2) = 2, M(2,2,1) = 2, M(2,2,2) = 6.

Se pide:

a) Representar este juego en forma extensiva.

b) Representar este juego en forma normal.

c) Calcular los puntos de silla con estrategias simples, si existen, y si no con estrategias mixtas.

SOLUCIÓN

a) Representación del juego en forma extensiva:

b) Representación del juego en forma normal:

Usaremos la función , para describir las estrategias del jugador II, donde, por ejemplo, f11 significa que el jugador II elige el número 1 independiente de lo que elija el jugador I y f21 significa que el jugador II elige el número 2 si el jugador I elige el número 1 y elige el 1 si el jugador I elige el 2. Análogamente, para el jugador I la estrategia k fij significa que en la primera jugada elige el número k y en la tercera usa la estrategia fij de acuerdo con lo antes descrito.

La tabla de este juego queda de la forma:

f11 f12 f21 f22

1 f11 2 2 3 3

1 f12 2 2 4 4

1 f21 1 1 3 3

1 f22 1 1 4 4

2 f11 5 2 5 2

2 f12 5 6 5 6

2 f21 2 2 2 2

2 f22 2 6 2 6

c) Calculo de los puntos de silla con estrategias simples, si existen, y si no con estrategias mixtas.

Para el jugador I la estrategia 2 f12 domina a todas las demás; después de esto, para el jugador de columnas las estrategias f11= f21 dominan a las otras. En resumen quedaríamos con:

f11 f21

2 f12 5 5

Luego este juego admite las estrategias simples optimas: 2 f12 para el jugador I y f11 y f21 para el jugador II. En ambos caso el valor del juego es 5.

Sin considerar las estrategias dominadas tendríamos:

f11 f12 f21 f22 minfila

1 f11 2 2 3 3 2

1 f12 2 2 4 4 4

1 f21 1 1 3 3 1

1 f22 1 1 4 4 1

2 f11 5 2 5 2 2

2 f12 5* 6 5* 6 5*

2 f21 2 2 2 2 2

2 f22 2 6 2 6 2

maxcol 5* 6 5* 6

Como maximinj aij = 5 = minjmaxi aij, este juego admite las estrategias simples óptimas:

Para el jugador I es la 2f12 y para el jugador II las estrategias f11 y f21.

Es claro que por ambos métodos obtenemos las mismas soluciones.

 ENUNCIADO

2. En la 1ª jugada el jugador I elige un número x{1,2}; en la 2ª jugada el jugador II, conociendo el número x elegido en la anterior jugada, elige un número y{1,2}; en la 3ª jugada el jugador I, sin conocer el número y elegido en la 2ª jugada y habiendo olvidado el número x que eligió en la 1ª, selecciona un número z{1,2}. Una vez elegidos los tres números x, y y z, el jugador II paga al jugador I la cantidad M(x,y,z), siendo M la función dada en el ejercicio 1.

Se pide:

a) Representar este juego en forma extensiva.

b) Representar este juego en forma normal.

c) Calcular los puntos de silla con estrategias simples, si existen, y si no con estrategias mixtas.

SOLUCIÓN

a) Representación extensiva del juego

Representamos rodeados con un marco de doble raya los nodos del mismo conjunto de información.

b) Representación del juego en forma normal.

Para el jugador II usamos las estrategias ya definidas en el ejercicio 1 por medio de la función fij y para el jugador I la estrategia i j que indica que en la primera jugada elige el número i y en la tercera el número j.

La tabla de este juego queda de la forma:

f11 f12 f21 f22

1 1 2 2 3 3

1 2 1 1 4 4

2 1 5 2 5 2

2 2 2 6 2 6

c) Resolución con estrategias simples o mixtas.

Para el jugador I las estrategias 1 y 2 están dominadas por la 3 y la 4 respectivamente. Después de esto, para el jugador II, las estrategias 3 y 4 están dominadas (son iguales a la 1 y 2 respectivamente). Es decir nos quedamos con

f11= f21 f12= f22 minfila

2 1 5 2 2

2 2 2 6 2

maxcol 5 6

Como maximinj aij = 2 y minjmaxi aij = 5 este juego NO admite las estrategias simples óptimas, luego tendremos que buscar estrategias mixtas para encontrar el punto de silla.

Sin considerar las estrategia dominadas, obtendríamos que maximinj aij = 2 y minjmaxi aij = 5, con lo que llegaríamos a la conclusión anterior, no existen soluciones óptimas simples.

Podemos obtener las estrategias mixtas óptimas, aplicando las fórmulas explícitas dadas en clase referidas a la tabla 2

Luego la solución óptima para el juego se obtiene con las siguientes estrategias:

Para el jugador I la (0,0,4/7,3/7).

Para el jugador II la (4/7,3/7, 0,0).

El valor óptimo es: V = 26/7

 ENUNCIADO

3. En la 1ª jugada el jugador I elige un número x{1,2}; en la 2ª jugada el jugador II, sin conocer el número x elegido en la anterior jugada, elige un número y{1,2}; en la 3ª jugada el jugador I, conociendo el número y elegido en la 2ª jugada y el número x que eligió en la 1ª, selecciona un número z{1,2}. Una vez elegidos los tres números x, y y z, el jugador II paga al jugador I la cantidad M(x,y,z), siendo M la función dada en el ejercicio 1.

Se pide:

a) Representar este juego en forma extensiva.

b) Representar este juego en forma normal.

c) Calcular los puntos de silla con estrategias simples, si existen, y si no con estrategias mixtas.

SOLUCIÓN

a) Representación extensiva del juego.

Representamos rodeados con un marco de doble raya los nodos del mismo conjunto de información.

b) Representación del juego en forma normal.

Usando la notación ya definida

...