LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO
Enviado por Sashenka Suarez • 20 de Octubre de 2019 • Síntesis • 3.325 Palabras (14 Páginas) • 192 Visitas
LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO
(2da Parte)
Definición: Rectas paralelas contenidas en un mismo plano son aquellas que no tienen puntos en común, esto equivale a decir que son coplanarias y su intersección es vacía.
Si dos rectas son cortadas por una tercera recta, a ésta tercera recta se le conoce como recta transversal. Gráficamente se forman, entre otros, los ocho ángulos que se indican:
[pic 1]
Figura 1
Los ángulos 1 y 5 se llaman correspondientes así como también ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, además de ∠4 y ∠8. (Ver definición formal en la pág. 80 del Geltner)
Los ángulos 3 y 5 se llaman alternos internos. También son alternos internos ∠4 y ∠6. Los ángulos1 y 7 se llaman alternos externos igual que ∠2 y ∠8. (Ver definición formal en la pág. 80 del Geltner)
Por comodidad y para abreviar nuestra exposición adoptaremos como postulado que en una situación como la de la figura 1, dos ángulos correspondientes cualesquiera son congruentes si y sólo si las rectas son paralelas.
Postulado 6. – Los ángulos correspondientes congruentes si y sólo si las rectas cortadas por una transversal son paralelas.
Teorema 6.- a) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, si y sólo si los ángulos alternos internos son congruentes.
b) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, sí y sólo sí los ángulos alternos externos son congruentes.
Demostración. Se deja como ejercicio, se sugiere para la demostración utilizar el dibujo anterior, y en base a él escribir lo dado, lo que se desea demostrar. Luego haga una demostración.
Postulado 7.- (Postulado de Euclides) Por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a ella.
Ejercicio 5.- Por un punto exterior a una recta construir la paralela a ella. (Ver construcciones elementales pág. 25 del Geltner)
Teorema 7.- La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a la medida de un ángulo llano.[pic 2]
Demostración: Por C trazamos una paralela
a la recta por A y B (ello es posible por el
Axioma 7) Consideremos ahora los ángulos
∠1 y ∠2. Puesto que ∠1 y ∠CAB son alternos
Internos resulta ∠1 ≃ ∠CAB. De igual forma se tiene que ∠2 ≃ ∠CBA y así tenemos que m∠CAB + m ∠ACB + m ∠CBA = m∠1 + m∠ACB + m∠2 = 180°.
Aquí se muestra un a demostrar, usted podría proponer una demostración utilizando el esquema proposiciones- razones.
Teorema 8.- La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es igual a la medida del suplemento del tercero. (Ver pág. 88 del Geltner)
Demostración: Si el triángulo tiene vértices A, B y C, por el teorema anterior se tiene que: m∠A + m∠B + m∠C = 180°. De aquí obtenemos que m∠A + m∠B = 180°- m∠C y 180°- m∠C es la medida del suplemento de ∠C.
Igual que en el teorema anterior, usted puede proponer una demostración utilizando el esquema proposiciones- razones.[pic 3]
Este teorema resulta interesante referido a una figura.
Observe que si prolongamos AB y por B trazamos una [pic 4]
Paralela BE a AC tenemos: ∠CBD es el suplemento ∠B, [pic 5][pic 6]
∠A ≡ ∠1 por ser ángulos correspondientes entre las paralelas AC y BE y la transversal AB. Además ∠C ≡ ∠2 por ser alternos internos (¿cuáles paralelas y cuál transversal?). [pic 7][pic 8][pic 9]
Nota además que m∠1 + m∠2 es la medida del suplemento de ∠B y que
m∠CBD = m∠A + m∠C.
Como ejercicios adicionales puede demostrar los teoremas 9 y 10.
Teorema 9.- En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo exterior al ángulo desigual es paralela a la base.
Definición: Un Rombo es un paralelogramo con lados adyacentes congruentes.
Teorema 10.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
Definición: Se llama mediatriz de un segmento al conjunto de puntos que equidistan de sus extremos.
Ejercicio 6.- a) Construir, con regla y compás, la mediatriz de un segmento.
b) Construir, con regla y compás, la bisectriz de un ángulo.
...