LA NATURALEZA DEL QUATENION

LA NATURALEZA DEL QUATENION

Un quaternion es un número de la forma:

[pic 1]

En donde i, j y k juegan algo el papel que hacen el número complejo. La parte real, 3 arriba, se llama la parte escalar del quaternion y el resto, la parte del vector. Los tres coeficientes de la parte vectorial son coordenadas cartesianas rectangulares de un punto P mientras que i, j y k son llamados unidades cualitativas que se dirigen geométricamente a lo largo de los tres ejes.

Los criterios de igualdad de dos quaterniom es que sus partes escalares serán iguales y que los coeficientes de sus unidades i, j y k serán respectivamente igual. Se añaden dos cuaterniones añadiendo sus partes escalares y añadiendo los coeficientes de cada una de las unidades i, j y k para formar nuevos coeficientes para esas unidades. Por lo tanto, la suma de dos quatemiones es un cuaternio.

Todas las reglas algebraicas conocidas de la multiplicación se suponen válidas cuando se opera con cuaterniones, excepto que en la elaboración de productos de las unidades I, j, y k las siguientes reglas, que abandonan la ley conmutativa, sostienen:

[pic 2]

Entonces si

[pic 3]

Entonces

[pic 4]

Mientras

[pic 5]

Hamilton demostró que la multiplicación es asociativa. Este es el primer uso de

Término.

La división de un cuaternion por otro también puede efectuarse, pero el hecho de que la multiplicación no es conmutativa implica que dividir el cuaternión P por el cuaternion q puede significar encontrar r tal que p: - qr o tal que P = rq. El cociente r no tiene que ser el mismo en los dos casos. El problema de la división se maneja mejor introduciendo q'1 o 1 lg. Si q z a + bi + + dk Se define q 'para ser a - bi - cj - dk y [V (q), llamados la norma de q, para ser A2 + b8 + c "+ d". Entonces N (q) = qq '= q'q. Por la definición 11 "= q '[N (q) Y q "existe si N (q) 7E 0. También qq" = tierra q "q = 1. Ahora para encontrar el R tal que p = qr tenemos q'1p = q'lqr o r = q "1p. Para encontrar la Que p = rq tenemos pq "= rqq" 1 o r = pq ".

Que los cuaterniones se pueden utilizar para girar y estirar o contraer un determinado vector en otro vector dado se muestra fácilmente. Sólo hay que demostrar que Uno puede determinar a, b, c y d tales que:

[pic 6]

Mediante la multiplicación del lado izquierdo como cuaterniones y la equiparación correspondiente Coeficientes de los lados izquierdo y derecho obtenemos cuatro ecuaciones en las incógnitas A, b, c, y d. Estas cuatro ecuaciones bastan para determinar las incógnitas.

Hamilton también introdujo un importante operador diferencial. Los Símbolo V, que es un A invertido-que Hamilton denominó "nabla" porque parece un antiguo instrumento musical hebreo de ese nombre, Significa el operador

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