La definición de la serie en matemáticas

UNIDAD 4: SERIES

4.1 DEFINICION DE SERIE

Una sucesión es un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada.

Por ejemplo:

1,4,9,16,25 y

1, -x, x^2/2, -x^3/3,x^4/4,-x^5/5

Las mencionadas anteriormente son sucesiones.

Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión. Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series:

1+4+9+16+25 y

1-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas. Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una serie infinita.

En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.

Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.

Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.

Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos iniciales de la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.

Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:

1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de la sucesión diverge, la serie también diverge.

2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.

3) Si una serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge también.

4) Si la serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge.

5) La serie converge, sólo con la condición de que también converja.

6) Se dice que una serie de la forma es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.

Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.

En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.

De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n∊para cada ∊> 0, el cual satisface la condición , n>nε. Aquí p es un entero positivo.

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