La diferenciación e integración de una función

INTRODUCCION

La diferenciación e integración de una función tiene tantas aplicaciones en la ingeniería

La diferenciación es algo común en ingeniería a causa de diversos trabajos implica analizar los cambios de las variables, tanto en el tiempo como en el espacio.

Numerosas leyes (figuran las leyes que consideran potenciales o gradientes) que gobiernan el comportamiento de las variables en el espacio se expresan en términos de derivadas.

Así la derivada proporciona una medida de la intensidad del cambio o gradiente.

Un ejemplo importante es la segunda ley de Newton, que se expresa en términos de la posición de un objeto, sino más bien en el cambio de la posición con respecto al tiempo.

Por otro lado el cálculo de integrales es igualmente valioso en varios campos tales como el área bajo la curva, determinar la media de funciones, la determinación de la media para datos discretos.

Las integrales también se utilizan también para evaluar la cantidad total de una variable física dada. La integral se puede evaluar sobre una línea, un área o un volumen.

La aplicación del cálculo integral en Ingeniería Civil se da en ejemplos cómo: Un topógrafo podría necesitar saber el área de un campo limitado por una corriente zigzagueante y dos caminos, un ingeniero en hidráulica cuando requiera conocer el área de la sección transversal de un río, un ingeniero en estructuras al necesitar determinar la fuerza neta ejercida por un viento no uniforme que sopla contra un lado de un rascacielos.

Mientras que el cálculo diferencial se aplica en la optimización de materiales y costos.

Genéricamente la Integración Numérica y diferenciación numérica se conoce al conjunto de técnicas y métodos que se han desarrollado para el cálculo aproximado de integrales definidas (la Integración Numérica) y cálculo de derivadas (diferenciación

Numérica).

A continuación se presentan dos métodos de integración numérica (Newton-Cotes, método Simpson) y dos métodos de diferenciación numérica (método de Euler,) estos métodos que facilitaran los cálculos.

INTEGRACIÓN NUMERICA

MÉTODOS DE NEWTON-COTES

Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar.

Se trata por tanto de toda una familia general de métodos, según el polinomio de interpolación que se considere.

Se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos.

Con

Por ejemplo el “método de barras” en la siguiente figura emplea un conjunto de polinomios de grado cero (es decir, constantes) para aproximar la integral.

Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas

Cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de

Integración.

Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos.

En este sentido, son similares a la extrapolación que se analizó en la sección. Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes no se usa para integración definida. Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias

LA REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton-

Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado.

Sabemos que una línea recta se puede representar

Y el área bajo la curva como

Finalmente se obtiene el resultado de la integración

Error de la regla del trapecio

Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:

Donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b. si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior puede ocurrir algún error.

Ejemplo:

Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para

Aproximar la integral de

de x = 0 a 0.8. recordando que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533.

Solución. Al evaluar la función en los límites

f(0) = 0.2

f(0.8) = 0.232

Sustituyendo en la ecuación

se tiene la cual representa un error de

se calcula la segunda derivada de la función en el intervalo, derivando dos veces la función original:

El valor promedio de la segunda derivada se calcula mediante

que se sustituye en la ecuación

La regla del trapecio de aplicación múltiple

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos

Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuesta. Supongamos que Hay n + 1 puntos igualmente espaciados

(x0, x1, x2,..., xn). En consecuencia, existe n segmentos del mismo ancho,

Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará

Como:

Sustituyendo en la regla del trapecio

Finalmente se obtiene

Del resultado de la integración

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores

individuales de cada segmento, así

Finalmente

Ejemplo:

Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimarla integral de

desde

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