La integral. Construcción del concepto de área bajo la curva

La Integral

Actualmente se oye hablar comúnmente que la educación es Integral, que el conocimiento es integral, que la salud es integral, etc., entonces debemos partir nuestro análisis definiendo ese término tan controversial en la actualidad,  integral es un adjetivo que nos permite señalar a lo que es total o global. Desde el punto de vista filosófico, integral es la parte de un todo que forma parte de la composición de éste pero sin serle esencial, esto quiere decir que el todo puede subsistir aún sin la parte integral. Esto puede verse con algunos componentes del cuerpo humano: los brazos o las piernas hacen a la integridad del cuerpo, pero éste sigue siendo cuerpo aún sin la presencia de estas extremidades.[pic 1]

Para las matemáticas, el término Integral tiene un concepto más complejo, pues la integral de una función “F” es el proceso que consiste en calcular el área bajo la curva delimitada por los extremos de esta y sus respectivas proyecciones sobre uno de los ejes (ver figura 1). La integración, entonces, lo concebimos como un concepto fundamental del análisis matemático y las ecuaciones diferenciales. Esencialmente, una integral la podemos definir como la suma de infinitos sumandos, que son infinitamente pequeños. Al resolver la integral de una función nos arroja datos que tienden a ser relevantes de áreas determinadas por curvas y formas que aún no están concluidas. También nos sirve en la determinación de solidos generados a partir de la revolución de ellos. El proceso de integración es considerado la anti-derivada de la función, ya que su aplicación nos lleva a revocar cualquier efecto producido por la diferenciación de la función provocando de esta manera que una función derivada regrese a su estado y forma original a la que se le denomina primitiva.

Este concepto fue usado por primera vez por científicos que en cursos anteriores de matemáticas ya hemos estudiado, tales como: Arquímedes, Descartes, Newton, Leibniz e Barrow. Los trabajos de Barrow y los aportes de Newton dieron origen al teorema fundamental del cálculo integral, el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

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Construcción del concepto de área bajo la curva.

Desde niños al empezar nuestros estudios de educación primaria, se nos inculco el concepto de área de una figura geométrica. Entendimos que es una medida que nos indica el tamaño de una porción del espacio delimitada por la figura.  Por ejemlo el área de un rectángulo lo hemos concebido como el producto de la longitud de su base por la longitud de su altura; y que el área de todo triangulo es la mitad del producto de la longitud de su base por su altura.

El área de un polígono la podemos definir como la suma de las áreas de los triángulos en los cuales se descompone y que el valor del área del polígono es independiente del número de triángulos en los que se puede descomponer la figura (ver figura 2).[pic 3]

Lo interesante en el calculo de áreas es lograr definir el valor del área de una región en un plano cuando esta región esta limitada por una curva. En el calculo del área total de una figura como la del polígono de la figura 2, el proceso final será la suma de los valores previos de las áreas de los triángulos, por lo tanto, debemos hacer uso del opreador sumatoria que esta representado por la notación con el símbolo sigma () que nos simplificara el proceso de suma de estas áreas. Por ejemplo:[pic 4]

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