La solución polinómica

1 kso: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis .A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:

8a: 4 = 2a este término dio "positivo"

Segundo término:

-4b: 4 = -b este término dio "negativo"

Tercer término:

16c: 4 = 4c

Cuarto término:

12d: 4 = 3d

De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".

Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.

Segundo kso: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EXPLICACIÓN:

Nota: Para entender este caso, primero hay que saber sacar Factor Común, es decir, saber aplicar el PRIMER CASO DE FACTOREO.

PASO 1: Agrupación de a dos términos

Agrupo de la siguiente manera:

4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos). Y, por otro lado:

xa con xb (ya que hay factor común "x" entre ellos)

Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a + b)

Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(a + b)

Como estoy sacando factor común "positivo", la "x" es positiva, y por eso las dos expresiones quedan sumando, así: 4. (a + b) + x. (a + b)

Ese signo "+" puedo pensar que corresponde a la x, porque saqué factor común positivo x, es decir "+ x".

PASO 2: Sacar factor común (a + b) En lo que quedó en el paso anterior, puedo ver algo que está "repetido". Es la expresión (a + b). Y está multiplicando en los dos términos que tiene ahora el polinomio

Si algo está multiplicando en todos los términos de un polinomio, puedo decir que ese algo es un "factor común". Esta vez tengo una expresión de dos términos como factor común .Es la expresión (a + b). No importa que tenga dos términos, debo verla como un todo, como si fuera un sólo número o letra. Como si fuera un sólo término. Y para eso la conservo entre paréntesis. Entonces, ahora aplico de nuevo el caso "Factor común", siendo mi nuevo factor común la expresión (a + b). En la sección dedicada al Primer Caso, hay un ejemplo donde explico cómo sacar factor común cuando el factor común es una expresión de dos términos.

Como todo factor común, (a + b) "sale multiplicando a un paréntesis":

(a + b). (4 + x)

Y dentro del segundo paréntesis, van los resultados de las divisiones:

4. (a + b) dividido (a + b), da como resultado 4

x. (a + b) dividido (a + b), da como resultado x

La manera "práctica" y rápida de hacer estas divisiones con facilidad, es pensar en "sacar". Así:

" Si a 4.(a + b), le saco el (a + b), ¿qué me queda?: El 4 "

" Si a x.(a + b), le saco el (a + b), ¿qué me queda?: La x "

Pero para entender realmente lo que estamos haciendo (sólo recomendable para interesados), lleva más tiempo y esfuerzo: Y si realmente no quieren pensar en sacar factor común (a + b), hay un truquito para hacer el segundo paso sin pensar para nada en ningún factor común, sólo hay que mirar un poco y acordarse qué hacer

Trcr kso: (Con los tres términos positivos)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3

2.3.x

6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo.

Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dio igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIÓN: 1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":

Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9. Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9).

El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par.

2) "BAJAR" LAS BASES:

Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso).

3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3 ("Dos por x por 3")

Eso es "el doble producto de las bases". Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x

Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x". (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factor izar con este Caso.

Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene". (Si les interesa saber más acerca de esto, pueden consultar en los CONCEPTOS)

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