Laboratorio 15

Definición 1 (Vecindad de un punto):

Seax_0∈R y sea δ>0. Denominaremos vecindad de centro x_0 y radio δ al intervalo abierto ├]x_0-δ,x_0+δ┤[.

Definición 2: (Puntos interior, frontera y exterior de un conjunto).

Sea A⊆R. Sea x_0∈R. Decimos que x_0 es:

Un punto interior de A si y sólo si existe δ>0 tal que ├]x_0-δ,x_0+δ┤[⊂A

Un punto frontera de A si y sólo si:

(∀δ>0)( ├]x_0-δ,x_0+δ┤[∩A≠∅ ∧├]x_0-δ,x_0+δ┤[∩A^c≠∅).

Un punto exterior de A si y sólo si existe δ>0 tal que ├]x_0-δ,x_0+δ┤[⊂A^c

En castellano:

Una vecindad del número real x_0 es un intervalo abierto, acotado y centrado en x_0. La distancia entre x_0 y el supremo o ínfimo del intervalo abierto, se denomina radio de la vecindad.

Un número real x_0 es un punto interior del conjunto A si existe alguna vecindad centrada en x_0 totalmente contenida en A.

Un número real x_0 es un punto frontera del conjunto A si toda vecindad centrada en x_0contiene puntos de A y también de su conjunto complemento.

Un número real x_0 es un punto exterior del conjunto A si es un punto interior del conjunto complemento de A.

Ejemplificación.

Sea A=├]-∞,0]∪├]7,9].

Si denotamos por Int(A)al conjunto de todos los puntos interiores de A entonces Int(A)=├]-∞,0┤[∪├]7,9┤[.

Si denotamos por Fr(A) al conjunto de los puntos frontera de Aentonces Fr(A)={0,7,9}.

Los puntos exteriores de A son todos los números reales que no son puntos interiores ni puntos frontera de A.

Sea a,b∈Rtal que a<b. SeaA=├]a,b┤[.

Todo punto de A es punto interior de A pues si x∈├]a,b┤[ entonces a<x<b. Si elegimos 0<δ<min{x-a,b-x}, entonces ├]x-δ,x+δ┤[⊆A.

También podemos afirmar que a es un punto frontera de A, pues si 0<δ<(b-a) entonces ├]a-δ,a+δ┤[contiene a (a+δ/2)∈├]a,b┤[. Por otra parte a∈├]a-δ,a+δ┤[∧a∉├]a,b┤[.

Usando argumentos similares se llega a probar que b es un punto frontera de A.

Si n∈N entonces b+1/n es un punto exterior de A. En efecto:

├]b+1/2n,b+1┤[∩├]a,b┤[=∅. Además (b+1/n)∈├]b+1/2n,b+1┤[.

Derivadas.

Definición 4 (Derivada de una función en un punto):

Sea x_0 un punto interior del dominio de la función f.

Si lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗 existe, entonces lo llamamos la derivada de f en x_0 y lo denotamos por〖f(x_0)〗^´.

Si x_0 es un punto frontera del dominio de f entonces sólo tendremos un límite lateral de la tasa de cambio promedio. Si dicho límite lateral existe se le llama derivada lateral de f en x_0.

Interpretación geométrica de la derivada: Si la derivada de f en x_0 existe, entonces puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0 )).

Ejemplificación.

Calcule si existe, la derivada de la función f(x)=√(x+1) en x=1 y en x=-1.

Solución.

El dominio de f es [-1,∞┤[. Entonces 1 es un punto interior del dominio de f.

〖f(1)〗^´=lim┬(h→0)⁡〖(f(1+h)-f(1))/h=lim┬(h→0)⁡〖(√(h+2)-√2)/h〗 〗=lim┬(h→0)⁡〖1/(√(h+2)+√2)=√2/4〗

Como -1 es un punto frontera del dominio de f entonces sólo podemos calcular su derivada lateral derecha.

lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(-1+h)-f(-1))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖(√h-√0)/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖1/√h〗

Este último límite no existe pues la función g(h)=1/√h no es acotada en ├]0,δ┤[ para ningún δ>0.En concreto: f no tiene derivada en (-1,0).

Definición 5:(Función Derivada).

Sea f una función real de variable real.

Sea Dom(f)el dominio de f.

Sea Dom(f´)={x∈Dom(f):f´(x)∈R}, o sea el conjunto de todos los elementos del dominio de f para los cuales existe la derivada. Notamos que todos los elementos de Dom(f´) son puntos interiores de Dom(f).

Entonces la función que asocia a cada elemento de Dom(f´)su derivada, se llama función derivada de f. Es decirf´:Dom(f´)⟶R y si x_0∈Dom(f´) entonces:

x_0⟶f´(x_0 )=lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗

En castellano: La función derivada de la función f es la que asocia a cada elemento del dominio de f su derivada.

Ejemplificación.

Sea s=t/(t+1). Hallar la función derivada de s=s(t).

Sabemos que Dom(s)=R-{(-1)/2}. O sea Dom(s)=├]-∞,(-1)/2┤[∪├](-1)/2,∞┤[. Es claro que todo punto de este conjunto es un punto interior del dominio de la función s.

Sea t un punto cualquiera pero fijo de Dom(s).

Entonces lim┬(h→0)⁡〖(s(t+h)-s(t))/h=lim┬(h→0)⁡〖((t+h)/(t+h+1)-t/(t+1))/h〗 〗=lim┬(h→0)⁡〖1/(((2(t+h)+1)(2t+1))〗=1/〖(2t+1)〗^2

Luego la función derivada de s tiene como regla de asociación a s´(t)=1/〖(2t+1)〗^2 y su dominio es todos los reales excepto -0.5. Es decir, el mismo dominio que la función original s.

Maletín de derivadas.

Nuestro maletín de derivadas debe contener funciones derivadas básicas y reglas para hallar derivadas de funciones más complejas.

Si nuestro maletín está lleno y sabemos usar su contenido -conocimiento que sólo surge del entrenamiento personal-, entonces estamos listos para salir a la calle a derivar lo que se nos demande. En caso contrario nos irá mal, pues no tenemos el maletín suficientemente lleno o, teniéndolo,no somos hábilespara usarlo.

Set mínimo de derivadas en el maletín.

f(x)=k⇒f´(x)=0;k=cte.

f(x)=x⇒f´(x)=1.

f(x)=x^z⇒f´(x)=zx^(z-1);z=cte..

f(x)=senx⇒f(x)=cosx.

f(x)=cosx⇒f´(x)=-senx.

f(x)=ln⁡〖(x)⇒f´(x)=1⁄x〗.

f(x)=e^x⇒f´(x)=e^x.

f(x)=a^x⇒f´(x)=a^x ln⁡〖a;a>0〗.

Reglas en el maletín.

Supongamos que f y g son funciones derivables en Dom(f)∩Dom(g). Entonces:

Regla de la suma:

(f+g)´=f´+g´

Ejemplificación:

Hallar la función derivada de u(t)=cost+3^t-8.

Hallar también u´(π).

Solución:

u´(t)=-sent+3^t ln⁡3

Dom(u´)=R

Evaluando en t=π tenemos que u´(π)=3^π ln⁡3

Regla de la ponderación por un número real:

Si λ∈R

(λf)´=λf´

Ejemplificación:

Hallar la función derivada de h(x)=5x^(-1).

Solución:

h´(x)=5(-1)

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