Las principales propiedades de los números naturales

Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales, denotados mediante \mathbb{N}, son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante \mathbb{Z} (del alemán Zählen 'números'). los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempres como cocientes de enteros, el conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racinales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como \mathbb{Q}.

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco es racional. Igualmente la solución de numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales \mathbb{R}. Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos \mathbb{C}, que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliveradas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos como octoniones y los sedeniones.

A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.

Enumeración de los tipos

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:

Números naturales

Número primo

Números compuestos

Números perfectos

Números enteros

Números negativos

Números pares

Números impares

Números racionales

Números reales

Números irracionales

Números algebraicos

Números trascendentes:

π

e

Extensiones de los números reales

Números complejos

Números hipercomplejos

Cuaterniones

Octoniones

Números hiperreales

Números superreales

Números surreales

Números usados en teoría de conjuntos

Números infinitos

Números transfinitos

Clasificación de números Complejos \mathbb{C}

Reales \mathbb{R}

Racionales \mathbb{Q}

Enteros \mathbb{Z}

Naturales \mathbb{N}

Uno

Naturales primos

Naturales compuestos

Cero

Enteros negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales\mathbb{I}

Irracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios puros

Números naturales especiales

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.

Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que

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