Las propiedades de las funciones de Gauss

En matemáticas la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función definida por la expresión:

f(x) = a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).

La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a \frac{1}{c\sqrt{2\pi}}, a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.

Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.

[editar] Propiedades

Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:

\int_{-\infty}^{\infty} a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }\,dx = a|c|\sqrt{2\pi}.

El valor de la integral es 1 si y solo si a =\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}, en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.

[editar] Aplicaciones

La primitiva de una función gaussiana es la función error.

Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas e ingeniería. Algunos ejemplos:

En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.

Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico.

Los orbitales moleculares usados en química computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos.

Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los polinomios de Hermite.

Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos.

Los rayos gaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas.

Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imágenes.

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