Leyes De Kepler

Leyes de Kepler

y

Ley de Gravitación Universal

J. Eduardo Mendoza Torres

Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica, México

Primera Edición Tonantzintla, Puebla, México 2009

ÍNDICE

1.- PRIMERA LEY DE KEPLER…………………………………………………………………………… 1

1.1 Parámetros de una elipse (eje mayor, eje menor, focos y excentricidad)………………. 1

1.2 Excentricidad de la órbita de la Tierra…………………………………………………………. 4

1.3 Excentricidad de la órbita de Plutón y excentricidad de la órbita de Neptuno…………. 4

2.- SEGUNDA LEY DE KEPLER.………………………………………………………………………….. 5

3.- TERCERA LEY DE KEPLER…………………………………………………………………………… 6 3.1 Aproximación para el caso m << M……………………………………………………………… 6

3.2 Comparación entre los períodos y las distancias de dos planetas……………………….. 7

3.3 Expresión de la Tercera Ley usando como unidades 1 año terrestre y 1 UA…………... 8

3.4 Cálculo de la distancia de Saturno al Sol……………………………………………………… 8

3.5 La mínima y la máxima distancia del cometa Halley al Sol……………………………… 9

3.6 Cálculo de la masa del Sol………………………………………………………………………… 10

4 .- Ley de la Gravitación Universal………………………………………………………………………. 10 4.1 Cálculo de la masa de la Tierra…………………………………………………………………... 11

Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal

Guía para el video

En este texto se hace una revisión del contenido del video ¨Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal, Temas de las Olimpiadas de Astronomía¨. En el video no se mostraron algunos pasos del procedimiento matemático. En este texto describimos dichos pasos con la idea de hacer más comprensible el procedimiento. Además, tratamos de describir con más detalle los ejemplos del video y también incluimos algunos otros ejemplos.

Lo anterior lo hacemos con el propósito de que profesores de bachillerato y preparatoria puedan usar esta guía en clases. La idea es que resuelvan algunos ejemplos con los estudiantes para revisar con más detalle los conceptos abordados en el video.

1.- PRIMERA LEY DE KEPLER

La primera Ley de Kepler la podemos describir de la siguiente manera:

Cada planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica y el Sol se encuentra en uno de los focos de dicha elipse.

Para entender mejor la descripción anterior vamos a revisar algunos conceptos relacionados a la elipse, con los cual podremos entender qué significa que la órbita de un planeta sea elíptica.

1.1 Parámetros de una elipse Eje mayor y eje menor

Una elipse tiene dos ejes, el eje mayor y el eje menor pero, en matemáticas es más común usar los semiejes, los cuales corresponden a la mitad de los ejes.

El semieje mayor es un término muy importante, aquí lo vamos a denotar con la letra a (minúscula) aunque, en el video se usó la A (mayúscula) para denotarlo. Este término se usa mucho en las expresiones matemáticas de la elipse.

Focos de una elipse

Una elipse tiene dos puntos llamados focos que se encuentran sobre el eje mayor. Usando los focos vamos a esquematizar de una forma sencilla la definición matemática de una elipse. Primero, vamos a suponer que tenemos dos clavos en una tabla. Si con un hilo hacemos un aro y el aro lo hacemos pasar por los dos clavos y también por un lápiz colocado sobre la tabla, entonces podemos dibujar una elipse, solo tenemos que ir girando el lápiz alrededor de los clavos manteniendo tenso el hilo.

Las posiciones de los clavos son los focos de la elipse. Matemáticamente lo anterior significa que cada uno de los puntos de la elipse debe cumplir con la siguiente condición. La suma de la distancia entre los focos(F), la distancia entre un foco y un punto dado de la elipse (Q) y la distancia entre el otro foco y dicho punto (R), es constante. Es decir, siempre va a ser la misma distancia. En el ejemplo esa distancia es simplemente la longitud del hilo que se usó para hacer el aro.

Excentricidad

Para tener una idea de que tan alargada es una elipse se usa el término excentricidad. Una de las formas de expresar la excentricidad es

C

a

donde a es el semieje mayor y C es la distancia entre un foco y el centro de la elipse.

La excentricidad de una elipse es mayor entre más alargada sea ésta y su valor siempre va a estar entre cero y uno. A medida que la excentricidad disminuye el eje mayor de la elipse disminuye y el valor de C también. Si la excentricidad es igual a cero entonces el centro de la elipse coincide con los focos y tenemos una circunferencia. Ese caso lo expresamos matemáticamente como

entonces

C 0

0 0

a

Lo cual, precisamente indica que una elipse con excentricidad igual a cero es equivalente a que la distancia entre un foco y el centro sea cero.

En términos de la excentricidad (E), la distancia mínima al Sol es

rmin a 1 

donde a es el semieje mayor. La distancia máxima es

rmax a 1 

El punto más cercano es el afelio y el más lejano es el perihelio.

1.2 Excentricidad de la órbita de la Tierra.

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