Leyes De Kepler

Leyes de Kepler

• Primera ley: La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el sol en uno de sus focos.

• Segunda ley: La línea que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

• Tercera ley: El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su semieje mayor.

P2=kR3.

La demostración de las leyes de Kepler se basa en las leyes de Newton que enunciamos a continuación.

2 Leyes de Newton

• Primera ley (ley de la inercia): Todo objeto en estado de movimiento uniforme tiende a permanecer en este estado de movimiento, a menos que una fuerza se le aplique.

• Segunda ley: La relación entre la masa m de un objeto, su aceleración a y la fuerza aplicada F es

F=ma

• Tercera ley: A toda acción corresponde una reacción de la misma magnitud y en sentido contrario.

• Ley de la Gravitación Universal: Todo objeto en el universo atrae a cualquier otro objeto con una fuerza en dirección de la línea de los centros de los dos objetos, que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia.

| F| = G m1m2

________________________________________r2

siendo G la constante de gravitación universal. Si colocamos el origen de coordenadas en uno de los dos objetos, tenemos

F= 



 G m1m2

________________________________________r2 



 u

donde u es el vector unitario en la dirección de la línea de los centros.

demostración de las leyes de Kepler a partir de las de Newton

Teorema 0 Los planetas se mueven en planos.

Demostración:

Consideramos que el movimiento del planeta se atiene a la 2a ley de Newton,

F=ma

(1)

y que la única fuerza que actúa sobre el planeta es la fuerza de atracción del Sol.

Coloquemos al Sol en el origen de coordenadas.

Denotamos al vector posición del planeta en el momento t como R=R( t) . Su velocidad v se obtiene derivando el vector posición

v( t) = dR

________________________________________dt

y su aceleración a es la derivada de la velocidad

a( t) = dv

________________________________________dt

Por la ley de la gravitación universal,

F= 



 G mM

________________________________________ R 2 



 u

(2)

donde u es el vector unitario que va del Sol al planeta, es decir,

u= R

________________________________________ R

Igualando (1) y (2) se obtiene

a= 



 G M

________________________________________ R 2 



 u

(3)

por lo que el vector aceleración es un múltiplo del vector posición u y se dirige siempre hacia el Sol.

Consideremos el vector

h=R×mv=m( R×v)

(4)

conocido como el momento angular del planeta.

Calculamos su derivada

d

________________________________________dt m( R×v) = m 



 



 dR

________________________________________dt ×v 



 + 



 R× dv

________________________________________dt 



 



 =m( ( v×v) +( R×a) ) = 0

ya que a es un múltiplo de u y por consiguiente un múltiplo de R.

Así que

R×v=C=constante,

(5)

esto significa que se conserva el momento angular. Por lo que tanto R como [(dR)/dt]=v son perpendiculares al vector constante C y por tanto siempre están en un plano perpendicular a C.

Figura 1

2.2 Demostración de la segunda ley de Kepler

Como la curva que describe el planeta es plana, podemos pensar que está en el plano XY y podemos parametrizarla con coordenadas polares

R( ) = r( ) u()

donde el vector u es un vector unitario

u( ) = ( cos,sen) .

conocido como el vector unitario en la dirección radial.

Figura 2

El ángulo  que forma el vector R con el eje X depende del tiempo, es decir,  = ( t) .

El vector

w( ) = ( sen,cos)

se llama el vector unitario en la dirección circunferencial.

Los vectores u y w satisfacen las siguientes propiedades:

uw, du

________________________________________dt =w d

________________________________________dt , dw

________________________________________dt =u d

________________________________________dt

Para probar la primera, calculamos el producto escalar de u y w

u•w=( cos,sen)•( sen,cos) = cossen+sencos = 0

Para la segunda, utilizamos la regla de la cadena

du

________________________________________dt = du

________________________________________d d

________________________________________dt =(sen,cos) d

________________________________________dt =w d

________________________________________dt

Elegimos el sistema de coordenadas de manera que el valor inicial t=0 cuando r= R es mínimo, es decir, cuando el planeta está en el perihelio, la posición más cercana al sol y en este momento, el planeta se encuentra en el eje X, es decir,  = 0.

Como r( ) alcanza su mínimo en  = 0 entonces para t=0,

dr

________________________________________dt ( 0) = 0.

La velocidad del planeta es la derivada de la posición:

v( t) = dR

________________________________________dt = d

________________________________________dt ru = r du

________________________________________dt + dr

________________________________________dt u = r d

________________________________________dt w+ dr

________________________________________dt u

La aceleración del

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