Linear ALGEBRA

LINEAR ALGEBRA

Entonces, lo primero que debemos hacer en este curso sobre álgebra lineal es manejar los vectores, lo que resultará realmente útil para resolver esos problemas de álgebra lineal. Esos son los lineales en sus coeficientes, como la mayoría de los parámetros de ajuste. Primero daremos un paso atrás y veremos con cierto detalle el tipo de cosas que estamos tratando de hacer con los datos. ¿Y por qué esos vectores que aprendiste por primera vez en la escuela secundaria eran incluso relevantes? Y con suerte esto hará que todo el trabajo con vectores sea mucho más intuitivo.

Volvamos a ese problema más simple del último video, la distribución del histograma de las alturas de las personas en la población. No hay mucha gente por encima de unos 2 metros, por ejemplo.

Y en realidad no hay mucha gente por debajo de 1,5 metros.

Digamos que deseamos intentar ajustar esa distribución con una ecuación que describa la variación de la altura en la población. Y digamos que la ecuación tiene solo dos parámetros. Una que describe el centro de la distribución aquí, y llamaremos a eso mu. Y uno que describe qué tan ancho es, que llamaremos sigma.

Entonces podríamos ajustarlo con alguna curva que tuviera dos parámetros, mu y sigma. Yo usaría una ecuación como esta. Lo llamaría f (x), alguna función de x donde x es la altura, = 1 sobre la raíz sigma 2 pi veces el exponencial de - (x - mu) al cuadrado dividido por 2 sigma al cuadrado. Entonces, esta ecuación solo tiene dos parámetros, sigma aquí y mu, y se ve así. Y tiene un área aquí de 1, porque solo hay un 100% de personas en la población en general. Ahora no te preocupes demasiado por la forma de la ecuación. Esto es lo que sucede, esto se llama distribución normal o gaussiana. Y tiene un centro de mu y un ancho de sigma. Y está normalizado, por lo que su área es 1.

Ahora, ¿cómo hacemos para ajustar esta distribución? Es decir, encontrar mu y sigma, bueno, el mejor mu y sigma posible que se ajuste a los datos tan bien como sea posible.

Imagine que hubiéramos adivinado que el ancho era más ancho de lo que realmente es, pero manteniendo el área de 1. Entonces, si supusimos que era una distribución más gruesa y probablemente un poco más corta, digamos algo así. Entonces este tiene algo así. Este tiene una sigma más amplia, pero tiene el mismo mu. Sería demasiado alto en los bordes aquí, y demasiado bajo en el medio. Entonces podríamos sumar las diferencias entre todas nuestras mediciones y todas nuestras estimaciones. Tenemos todos estos lugares donde subestimamos aquí, y todos estos lugares donde sobreestimamos aquí. Y podríamos sumar esas diferencias o, de hecho, los cuadrados de ellas para obtener una medida de la bondad o maldad del ajuste. Y veremos en detalle cómo lo hacemos una vez que hayamos hecho todos los trabajos de vectores, y una vez que hayamos hecho todo el trabajo de cálculo, entonces podríamos graficar cómo variaba esa bondad a medida que cambiamos los parámetros de ajuste, sigma y mu, y obtenemos una trama como esta. Entonces, si teníamos un valor correcto, nuestro mejor valor posible para mu aquí, y nuestro mejor valor posible para el ancho, sigma aquí.

Entonces podríamos trazar, para un valor dado de mu y sigma, cuál era la diferencia. Entonces, si estuviéramos en el valor correcto, obtendríamos un valor de bondad donde la suma de los cuadrados de las diferencias era nula. Y si mu estaba demasiado lejos, si teníamos un cálculo incorrecto de mu y conseguimos cambiar la distribución, entonces el ancho era correcto, pero teníamos un valor incorrecto de mu allí, que obtenemos algún valor de todas las sumas de cuadrados de las diferencias de bondad siendo un valor aquí que era más alto. Y podría ser lo mismo si pasáramos por el otro lado y tuviéramos algún valor allí. Y si fuéramos demasiado anchos, obtendríamos algo allí o demasiado delgados, obtendríamos algo que fuera demasiado delgado así, algo así, digamos. Entonces obtendríamos otro valor de bondad. Podríamos imaginar trazar todos los valores de donde tenemos el mismo valor de bondad o maldad para diferentes valores de mu y sigma. Y luego podríamos hacer eso por algún otro valor de maldad, y podríamos obtener un contorno que se viera así, y otro contorno que se viera así, y así sucesivamente. Ahora, digamos que no queremos calcular el valor de este parámetro de bondad para cada mu y sigma posible. Solo queremos hacerlo un par de veces y luego encontrar nuestro camino hacia el mejor ajuste posible de todos.

Digamos que comenzamos aquí con la suposición de que era demasiado grande y demasiado ancho. Pensamos que las personas eran más altas de lo que realmente son, y que estaban más apretadas en sus alturas de lo que realmente son. Pero lo que podríamos hacer es decir bien, si hago un pequeño movimiento en mu y sigma, ¿mejora o empeora? Y si mejora, bueno, seguiremos avanzando en esa dirección. Entonces podríamos imaginar hacer un vector de un cambio en mu y un cambio en sigma. Y podríamos tener nuestro mu y sigma original allí. ¿Y podríamos tener un nuevo valor, mu prime, sigma prime, y preguntar si eso nos da una mejor respuesta? ¿Si es mejor allí o si mu prime sigma prime nos llevó hasta aquí? Si estuviéramos mejor o peor allí, algo así.

Ahora, en realidad, si pudiéramos encontrar cuál era la forma más empinada de bajar la colina, podríamos bajar este conjunto de contornos, este tipo de paisaje aquí hacia el punto mínimo, hacia el punto donde conseguir el mejor ajuste posible. Y lo que estamos haciendo aquí, estos son vectores, estos son pequeños movimientos alrededor del espacio. No son movimientos alrededor de un espacio físico, son movimientos alrededor de un espacio de parámetros, pero es lo mismo. Entonces, si entendemos los vectores y entendemos cómo bajar las colinas, ese tipo de curvatura de este valor de bondad, eso es cálculo. Luego, una vez que tengamos cálculo y vectores, podremos resolver este tipo de problema. Entonces podemos ver que los vectores no tienen que ser solo objetos geométricos en el orden físico del espacio. Pueden describir direcciones a lo largo de cualquier tipo de ejes. Entonces podemos pensar en los vectores como simples listas. Si pensáramos en el espacio de todos los autos posibles, por ejemplo. Así que aquí hay un auto. Está la parte de atrás, está la ventana, está el frente, algo así. Hay un auto, hay una ventana. Podríamos escribir en un vector todas las cosas sobre el automóvil. Podríamos anotar su costo en euros. Podríamos anotar su rendimiento de emisiones en gramos de CO2 por cada 100 kilómetros. Podríamos anotar su desempeño Nox, cuánto contaminó nuestra ciudad y mató a las personas debido a la contaminación del aire. Podríamos anotar su calificación de estrellas Euro NCAP, lo bueno que fue en un accidente. Podríamos anotar su velocidad máxima. Y anótelos en una lista que era un vector. Eso sería más una visión de la informática de los vectores, mientras que la vista espacial es más familiar desde la física. En mi campo, la metalurgia, podría pensar en cualquier aleación como descrita por un vector que describe todos los componentes posibles, todas las composiciones de esa aleación. Einstein, cuando concibió la relatividad, concibió el tiempo como simplemente otra dimensión. Entonces, el espacio-tiempo es un espacio de cuatro dimensiones, tres dimensiones de metros y una de tiempo en segundos. Y los escribió como un vector de espacio-tiempo de x, y, z y tiempo que llamó espacio-tiempo. Cuando lo ponemos así, no es tan loco pensar en el espacio de todos los parámetros de ajuste de una función, y luego en los vectores como cosas que nos llevan alrededor de ese espacio. Y lo que intentamos hacer es encontrar la ubicación en ese espacio, donde se minimiza la maldad, se maximiza la bondad y la función se ajusta mejor a los datos. Si la superficie de maldad aquí era como un mapa de contorno de un paisaje, estamos tratando de encontrar la parte inferior de la colina, el punto más bajo posible en el paisaje. Entonces, para hacerlo bien, querremos entender cómo trabajar con vectores y luego cómo hacer cálculos en esos vectores para encontrar gradientes en estos mapas de contorno y mínimos y todo ese tipo de cosas. Entonces podremos ir y hacer optimizaciones, permitiéndonos ir y trabajar con datos y hacer aprendizaje automático y ciencia de datos.

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