Los Atomos De Los Genes Regulares

Instituto Tecnológico de La Paz

Ingeniería Bioquímica

Algebra Lineal

Unidad 5 Transformaciones Lineales: Trabajo de Investigación

Luis Fernando Pantoja Lucatero

Índice

Introducción i

5.1 Introducción a las transformaciones lineales 1

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 2

5.3 La matriz de una transformación lineal 4

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación. 7

Conclusión 13

Introducción

E

l álgebra lineal es una rama de las matemáticas encargada del estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Estos conceptos han sido de gran ayuda para el desarrollo del conocimiento dentro de las matemáticas y también en otras ciencias, especialmente en las ciencias básicas, la economía, la informática, la ingeniería y las ciencias sociales. Por eso se justifica el estudio del álgebra lineal en la mayoría de las carreras universitarias.

Desde tiempo atrás los matemáticos han venido comprobando que la relación de estructuras algebraicas, tales como las de espacio vectorial, resultan poco útiles si se analizan individualmente. Han aparecido, más o menos automáticamente, aplicaciones de una estructura en otra, las cuales son llamadas homomorfismos o, recientemente, simplemente morfismos, las cuales conservan e ilustran las propiedades básicas de las estructuras. Para la estructura de espacio vectorial, estos morfismos son las transformaciones lineales.

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones típicas entre dos espacios vectoriales, en el sentido de que preservan la estructura lineal de los espacios en los cuales están definidas. [1]

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Una función T: V → W se llama una transformación lineal si para cualesquiera dos vectores v, w ∈ V y para todo escalar λ ∈ F se cumple. [1]

(TL1) τ(v+w)=τ(v)+ τ(w); [1]

(TL2) τ(λv)=λτ(v) [1]

Una transformación lineal entre los espacios V y W también suele llamarse una función lineal [1]

Se sigue inmediatamente de esta definición que para cualquier transformación lineal τ entre los espacios V y W se satisface lo siguiente:

(a) τ(0)=0

(b) τ(-v)= - τ(v)

Lo anterior puede ser comprado por el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. Sean τ: m2 (F) → m2 (F) la función dada por

(■(a&b@c&d))→ (■(d&-c@b&a))

τ es entonces una transformación lineal.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Una propiedad importante de las transformaciones lineales es que envía sub-espacios en sub-espacios. [2]

Teorema 1. Sea T ∈ L(V,W) y U un sub-espacio de V. Entonces

T(U)={T(u) ∶u ∈U}

Es un sub-espacio de W.

El teorema anterior se demuestra de la siguiente forma:

Sean x, y ∈ U y α ∈ F. Entonces

T(x)+T(y)=T(x+y) ∈ T(U)

Y

αT (x)=T(αx)∈ T(U) [2]

En particular, si T ∈ L (V, W), entonces T (V), llamado la imagen de T y denotado por Im (T), es un sub-espacio de W. Otro sub-espacio importante asociado a T es el núcleo de T.

Sea T ∈ L (V, W). El núcleo de T, denotado por ker (T), es el subconjunto de V.

ker (T) = {v ∈ V∶ T (v) = 0}

Es importante resaltar que ker (T) es no vacío porque T(0) = 0

Teorema 2. Sea T ∈ L (V, W). Entonces ker (T) es un sub-espacio de V.

El teorema anterior se demuestra de la siguiente forma:

Sean x, y ∈ ker (T) y α ∈ F. Entonces, al ser T una transformación lineal,

T (x + y) = T (x) + T (y) = 0 + 0 = 0

Y

T (αx) = αT (x) = α0 = 0

porque x, y ∈ ker (T). En consecuencia, x + y y αx ∈ ker (T).

Ejemplo

Sea A ∈ Mm×n (F) y τA ∈ L (Fn, Fm) la transformación lineal inducida por A. Entonces

ker⁡(τ_A )= {x ∈ F^n: τ_A (x)= 0}

= {x ∈ F^n: Ax = 0}

y

Im (τA) = {τA (x)∶ x ∈ F^n}

= {Ax∶ x ∈ F^n}

Esto es, ker (τA) y Im (τA) coincide con lo que llamamos núcleo e imagen de A.

El núcleo nos permite predecir si una transformación lineal es inyectiva.

Teorema 3. Sea T ∈ L (V, W). Entonces T es inyectiva si, y sólo si, ker (T) = {0}.

El teorema anterior se demuestra de la siguiente forma: Supongamos que T es inyectiva y sea x ∈ ker (T). Entonces

T (0) = 0 = T (x)

De aquí se concluye que x = 0 y, por lo tanto, ker (T) = {0}. Recíprocamente, sean x, y ∈ V y supongamos que T (x) = T (y). Como T es lineal entonces

T (x - y) = 0

y así, x − y ∈ ker (T) = {0}. Esto demuestra que x = y y T es inyectiva.

Este resultado establece una relación entre las dimensiones del núcleo y la imagen de una transformación lineal definida sobre un espacio vectorial de dimensión finita.

Teorema 4. Sea T ∈ L (V, W) y V un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces

Im (T) es de dimensión finita y

dim (V ) = dim [ker (T)] + dim [Im (T)]

Y se demuestra así:

Consideremos una base w1, . . . , wk de ker (T). Extendamos este conjunto de vectores a una base w1, . . . , wk, v1, . . . , vr de V . Entonces es claro que dim (V ) = k + r. Faltaría ver que dim [Im (T)] = r. Para eso demostramos que T (v1), . . . , T (vr) es una base de Im (T). Primero, si y ∈ Im (T), entonces y = T (x) para algún x ∈ V . Luego existen escalares α1, . . . , αk, β1, . . . , βr tales que

x = α1w1 + • • • + αkwk + β1v1 + • • • + βrvr

y como wi ∈ ker (T) para todo i obtenemos

y = T (x) = T (α1w1 + • • • + αkwk + β1v1 + • • • + βrvr)

= α1T (w1) + • • • + αkT (wk) + β1T (v1) + • • • + βrT (vr)

= β1T (v1) + • • • + βrT (vr)

Esto demuestra que T (v1), . . . , T (vr) generan a Im (T). Por otro lado, si γ1, . . . , γr son escalares tales que

γ1T (v1) + • • • + γrT (vr) = 0

Entonces

0 = γ1T (v1) + • • • + γrT (vr) = T (γ1v1 + • • • + γrvr)

En particular, γ1v1 + • • • + γrvr ∈ ker (T) y así, existen escalares ζ1, . . . , ζk tales que

γ1v1 + • • • + γrvr = ζ1w1 + • • • + ζkwk

O equivalentemente,

ζ1w1 + • • • + ζkwk - γ1v1 - • • • - γrvr = 0

Pero w1, . . . , wk, v1, . . . , vr es una base de V , por lo tanto, ζ1

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