Los números complejos están formados de una parte real y una imaginaria, se denota o simboliza por la letra Z

Índice

Contenido

Índice 1

Reglas del curso 3

Criterios de evaluación 3

Unidad I: Números Complejos 4

Definición 4

Demostración 4

Grafica de un número complejo 4

Series de Fourier 1

Ejemplo 01 3

Formas o Estructuras de un Número Complejo 3

Ejemplo 02 4

Ejemplo 03 5

Actividad 01 6

Operaciones con Números Complejos 8

Suma 8

Resta 8

Multiplicación 8

División 8

Actividad 02 9

Potencias de i 10

Ejemplo 01 10

Ejemplo 02 10

Ejemplo 03 10

Actividad 03 10

Producto y división: Forma Polar y Trigonométrica 11

a) Forma Trigonométrica 11

b) Forma Polar 11

Actividad 04 12

Actividad 05 13

Actividad 06 14

Potencia de un Número Complejo (Teorema de D’ Moivre) 15

Actividad 07 15

Actividad 08 16

Raíces de Números Complejos 16

Ejemplo 01 17

Actividad 09 18

Reglas del curso

Tolerancia de entrada: Después del maestro nadie entra.

No usar teléfono celular en el salón de clase, ni tenerlo en la mesa de trabajo.

Orden y respeto en el salón de clases (No decir palabras altisonantes).

No consumir alimentos, ni tomar refrescos o jugos en el salón (sólo agua).

El alumno que no acate las reglas anteriores se retirará del salón y si reincide, se irá por una semana.

Criterios de evaluación

Examen……………………………………………………………………..40%

Ejercicios en clase…………………………………………………………30%

Apuntes en electrónico (entrega un día antes del examen)…………..15%

Mooc de Álgebra Lineal…………………………………………………...15%

100%

Libreta de trabajo cuadros, color rojo

Unidad I: Números Complejos

Definición

Los números complejos están formados de una parte real y una imaginaria, se denota o simboliza por la letra Z, también se dice que un número complejo es un vector porque tiene magnitud, dirección y ángulo. Un número complejo puede estar formado solo por la parte real o de la parte imaginaria.

(Z=a+ib)/(Forma rectangular)

Z=a ó Z=ib

√9=(3)(3)=9 √(-9)=√((-1)(9)=3√(-1)=3)

Demostración

i^2=-1

√(i^2 )=-1

i=√(-1)

〖(i^2)〗^(1/2)=√(-1)

i=√(-1)

Grafica de un número complejo

Series de Fourier

a_0

a_n

b_n

Donde:

|Z|=Magnitud

θ_Z=Ángulo

Utilizando el teorema de Pitágoras se obtiene el valor de la magnitud |Z|:

|Z|^2=a^2+b^2

|Z|=√(a^2+b^2 )

Para calcular θ_Z se hace un análisis:

sin⁡〖θ_Z=(C.O)/H〗=b/|Z|

sin⁡〖θ_Z=〗 b/|Z|

cos⁡〖θ_Z 〗⁡〖=(C.A)/H〗=a/|Z|

cos⁡〖θ_Z 〗=a/|Z|

tan⁡〖θ_Z 〗⁡〖=(C.O)/(C.A)〗=b/a

tan⁡〖θ_Z 〗=b/a

cot⁡〖θ_Z 〗=a/b

sec⁡〖θ_Z 〗=|Z|/a

csc⁡〖θ_Z 〗=|Z|/b

Se despeja θ_Z mediante el análisis anterior:

θ_Z=1/sen (b/|Z| )

θ_Z=sin^(-1)⁡(b/|Z| )

θ_Z=arc sin⁡(b/|Z| )

θ_Z=1/cos (a/|Z| )

θ_Z=cos^(-1)⁡(a/|Z| )

θ_Z=1/tan (b/a)

θ_Z=tan^(-1)⁡(b/a)

Ejemplo 01

Calcular de Z= -5+4i

|Z|

θ_Z

Graficar

|Z|=√((-5)^2 〖+(4)〗^2 )=√(25+16)=√41

θ_Z=tan^(-1)⁡〖(4/(-5))=-38°〗

Formas o Estructuras de un Número Complejo

Forma Rectangular: Z=a+ib

Forma Polar: Z=r⌊θ_Z ┤

Donde r=Magnitud

θ_Z=Ángulo

Forma Algebraica: Z=(a,b)

Forma Trigonométrica: Z=r[cos⁡〖θ+i sin⁡θ 〗 ]

Donde r=Magnitud

θ_Z=Ángulo

Ejemplo 02

Z= -√3-5i

|Z|

θ_Z

Graficar

Forma Rectangular

Forma Polar

Forma Trigonométrica

Forma Algebraica

⌈Z⌉= √((-√3)^2 〖+(-5)〗^2 )=√(3+25)=√28

θ_Z=tan^(-1)⁡〖((-5)/(-√3))=70°〗

Forma Rectangular: Z= -√3-5i

Forma Polar: Z=√28 ⌊70°┤

Forma Trigonométrica: Z=√28 [cos⁡〖(70°)+i sin⁡〖(70°)〗 〗 ]

Forma Algebraica: Z=(-√3,-5)

Ejemplo 03

Z= -7+√8 i

|Z|

θ_Z

Graficar

Forma Rectangular

Forma Polar

Forma Trigonométrica

Forma Algebraica

⌈Z⌉= √((-7)^2 〖+(√8)〗^2 )=√(49+8)=√57

θ_Z=tan^(-1)⁡〖(√8/(-7))=-22°〗

Forma Rectangular: Z= -7+√8 i

Forma Polar: Z=√57 ⌊-22°┤

Forma Trigonométrica: Z=√57 [cos⁡〖(-22°)+i sin⁡〖(-22°)〗 〗 ]

Forma Algebraica: Z=(-7,√8)

Actividad 01

Z= -√5+3i

Z= -7-√3 i

|Z|

θ_Z

Graficar

Forma Polar

Forma Trigonométrica

Forma Algebraica

Z= -√5+3i

⌈Z⌉= √((-√5)^2 〖+(3)〗^2 )=√(5+9)=√14

θ_Z=〖tan〗^(-1)⁡〖(3/√(-5))=-53°〗

Grafica 7

Forma Polar: Z=√14 ⌊-53°┤

Forma Trigonométrica: Z=√14 [cos⁡〖(-53°)+i sin⁡〖(-53°)〗 〗 ]

Forma Algebraica: Z=(-√5,3)

Z= -7-√3 i

⌈Z⌉= √((-7)^2 〖+(-√3)〗^2 )=√(49+3)=√52

θ_Z=〖tan〗^(-1)⁡〖((-√3)/(-7))=33°〗

Gráfica 8

Forma Polar: Z=√52 ⌊33°┤

Forma Trigonométrica: Z=√52 [cos⁡〖(33°)+i sin⁡(33°) 〗 ]

Forma Algebraica: Z=(-7,-√3)

Operaciones con Números Complejos

Suma

Z_1=-3+7i

Z_2=-6+5i

Z_1+Z_2=(-3+7i)+(-6-5i)=-9+2i

Z_2+Z_1=(-6-5i)+(-3+7i)=-9+2i

Resta

Z_1-Z_2=(-3+7i)-(-6-5i)=-3+7i+6+5i=3+12i

...