Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta

Los Métodos que se estudiarán en este capítulo para resolver ecuaciones diferenciales de forma numérica se conocen como métodos de Runge-Kutta.

Particularmente estos métodos, conocidos desde hace varios años, muestran toda su potencialidad con la aparición de los equipos de cómputo

[pic 1]

En la figura se muestra un esquema del principio del método de Runge-Kutta de primer orden. En dicha figura, la ecuación y = y(x) es la solución a la ecuación diferencial y' = f(x, y) que pasa por el punto P(x0,y0).

Se desea obtener el valor de: y1 = y0 + k correspondiente a x = x1; en otras palabras, se desea determinar la altura MQ.

Aunque se desconoce la posición de la curva y = y(x), se sabe que en todo punto de esta la pendiente es igual a f(x, y): esto es simplemente la interpretación geométrica de la ecuación diferencial. De esta forma, la pendiente de la tangente en P es y0' = f(x0, y0); esto puede calcularse ya que tanto x0 como y0 se conocen. Si h es razonablemente pequeña, la tangente PT no debe desviarse demasiado de la curva PQ; de esta forma la altura MT, la cual por geometría es igual a hy0', debe ser una aproximación a la altura buscada MQ.

[pic 2]

Se hace evidente que se podría obtener una mejor aproximación si se utilizara el valor y en algún punto intermedio de la curva PQ en vez del valor en un extremo, pero ya que se no se conoce ninguno de estos puntos intermedios sobre la curva, no es posible haceresto. Sin embargo, podría tomarse

En donde α y β son fracciones adecuadas como segunda aproximación a k
[pic 3]

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