MÉTODO DE RUNGE - KUTTA

MÉTODO DE RUNGE - KUTTA

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Índice

En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden

Y' = f(X, Y) (7)

con la condición inicial

Y(X0) = Y0 (8)

consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia

Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)

para determinar la solución de la ecuación diferencial en

X = X1, X2, X3, ...

Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que

Yn+1 = Yn + h Y'n (10)

expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.

De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:

Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de definido por la expresión

(11)

en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:

X = Xn+1

Y = Yn + h f(Xn, Yn)

Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia

(12)

en donde

(13)

en el método de Euler y

(14)

en lo que

Y' = f(X, Y) (15)

en el método de Euler Mejorado.

Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:

1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.

2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y).

Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función que aparece en la expresión (12).

La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor

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