Metodos Runge Kutta

METODOS DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

Probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez, más exacto para obtener soluciones aproximadas del problema: y´ = f(t,y), con y(t0) = y0, sea el método de Runge Kutta de cuarto orden

Así, como en el método de R.K. de segundo orden hay un número infinito de versiones, en el método de RK de cuarto orden existen infinitas versiones.

Una de las versiones es:

yi + 1 = yi + h/6 (k1 + 2k2 +2k3 + k4)

donde: k1 = f(ti, yi)

k2 = f (ti + h/2, yi +hk1/2)

k3 = f (ti + h/2, yi +hk2/2)

k4 = f (ti +h , yi + h k3)

Ejemplo: Usando el método de RK4 clásico, con h=1, estimar y(2) en el P.V.I:

y’ = 2 t y + t, con y(0) = 0.5, en el intervalo [0,2]

Solución: Identificando: f(t,y)= 2 t y + t; t0 = 0; y0 = 0.5; h = 1

Iteración1: y1 = y0 +h/6 (k1 + 2k2 +2k3 + k4)

k1= f(t0;y0)= f(0;0.5)= 2 x 0 x 0.5 + 0 = 0+ 1 -1 = 0

y1 = y0 +h (k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6 = 0.5+1(0 + 2x1 +2 x1.5+5)/6= 2 .16667

t1 = t0 + h = 0 + 1 = 1

k2= f(t0+h/2;y0+h k1/2) = f(0.5; 0.5) =2x 0.5 x 0.5 + 0.5= 1

k3= f(t0+h/2;y0+h k2/2) = f(0.5;1)= 2x 0.5 x 1 + 0.5=1.5

k4= f(t0+h,y0 + h k3) = f(1; 2)= 2x 1 x2 + 1= 5

y1 = 2 .16667

t1 = t0 + h = 0 + 1 = 1

Iteración2: y2 = y1 +h/6 (k1+ 2k2 +2k3 + k4)

k1= f(t1,y1)= f(1; 2.16667 ) = 5.33333

k2= f(t1+h/2,y1+hk1/2)= f(1.5; 4.83333)=16.

k3= f(t1+h/2,y1+h k2/2)= f(1.5,10.1667)=32.

k4= f(t1+h,y1 + hk3) =f (2; 34.1667) = 138.667

y2 =2.16667+ (5.33333+ 2x16. + 2 x32. + 138.667)= 42.1667

t2 = t1 + h = 1+ 1 = 2

Por lo tanto, y(2) ≈ y(t2)= 42.1667

Finalmente, y(2) ≈ 42.1667

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