Análisis numérico Runge-Kutta

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

ANÁLISIS NUMÉRICO

RUNGE-KUTTA

Estudiante:

• Rojas Ramón Bony Lizbeth

DOCENTE: Ing. Manuel Villacis Rodríguez

FECHA DE ENTREGA: 2 de octubre 2021

Quito – Ecuador

2020-2021

MÉTODO DE   DE SEGUNDO ORDEN

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. (Arrieta, 2020).

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Uno de los tipos más simples del método de Runge-Kutta se obtiene al definir k1 y k2 y aproximar a k por medio de:

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El problema consiste en obtener valores adecuados para α, β, W1 y W2 de manera que la aproximación a k sea buena en términos generales. Se pueden usar los siguientes símbolos F, P y Q, para denominar los valores de  en el punto Entonces se tiene:[pic 4][pic 5]

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y utilizando la serie de Taylor con dos variables, es posible escribir:

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Por otro lado, dado que: y1 - y0 = k y a partir de la serie de Taylor, podemos escribir:

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por lo que:

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Ahora bien

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por lo que:

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y además

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De manera que:

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y entonces se tiene

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A partir de lo anterior, puede observarse que la aproximación (6.7) equivale a:

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Mientras que el valor correcto de k está dado por la ecuación (6.10). Se desea una aproximación válida para cualquier ecuación diferencial, esto es para cualquier  Con esto nos queda: [pic 17]

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Se tienen cuatro parámetros desconocidos y sólo tres ecuaciones que satisfacer, de manera que existe cierta liberta de elección. Puede tomarse a como cualquier número que se desee (excepto cero) y entonces se tiene:

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Por ejemplo, puede tomarse  y se obtiene W1 = W2 = ½. Obteniéndose lo siguiente: [pic 20]

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Este es el método de Runge-Kutta de segundo orden. (Ascher, 1998).

DESARROLLO MÉTODO RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN. MATLAB

Código:

function [output_args]=rk2(f,x1,y1,x,ilt)

    h=x/ilt;

    fprintf(' h es= %d\n',h)

    x(1)=x1;

    y(1)=y1;

    fun=inline(f);

    for i=1:ilt

    fprintf('\n numero de iteracion= %d\n',i)

    k1=fun(x(i),y(i));

    fprintf(' k1 es= %d\n',k1)

    k2=fun(x(i)+h,y(i)+h*k1);

    fprintf(' k2 es= %d\n',k2)

    y(i+1)=y(i)+(h/2)*(k1+k2)

    x(i+1)=x(i)+h;

end

y(1)=y1;

Captura:

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN

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Para revisar el problema en cuestión: queremos aproximar la solución a una ecuación diferencial de primer orden dada por

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(partiendo de alguna condición inicial conocida, y (t₀) = y₀ ). El desarrollo del método Runge-Kutta del Cuarto Orden sigue de cerca a los del Segundo Orden, y no se tratará en detalle aquí. Al igual que con la técnica de segundo orden, existen muchas variaciones del método de cuarto orden, y todas utilizan cuatro aproximaciones a la pendiente. Usaremos las siguientes aproximaciones de pendiente para estimar la pendiente en algún momento t₀ (asumiendo que solo tenemos una aproximación ay (t₀) (que llamamos y * (t₀) ).

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