MATEMATICAS 2

Sesión 5

A continuación se presentan algunos ejemplos de sistemas 3 x 3 para consolidar el proceso de transformar un sistema a otro escrito en forma triangular.

Ejemplo

Transforma el sistema de ecuaciones a uno escrito en forma triangular.

… (1)

… (2)

… (3)

Solución

Se multiplica la ecuación (1) por -3, la ecuación (2) por 2 y se suman los resultados:

__________________

… (4)

Se multiplica la ecuación (1) por -2, se suma con la ecuación (3) y se obtiene:

__________________

Por lo que el sistema de ecuaciones escrito en forma triangular es:

Para obtener la solución del sistema se determina el valor de y:

Este valor se sustituye en la ecuación (4) para determinar el valor de w:

Los valores de y, w se sustituyen en la ecuación (1) para encontrar el valor de x:

Por lo tanto la solución del sistema de ecuaciones es:

Comprueba la solución.

Ejemplo

Transforma el sistema de ecuaciones a uno escrito en forma triangular.

… (1)

… (2)

… (3)

Solución

Para eliminar los denominadores se multiplica cada ecuación por su mínimo común múltiplo:

Y se obtienen las ecuaciones siguientes:

… (1)

… (2)

… (3)

Se multiplica la ecuación (1) por 2, la ecuación (2) por 3 y se suman los resultados:

________________

… (4)

Se suman las ecuaciones (2) y (3):

_________________

… (5)

Se multiplica la ecuación (5) por -12 y se suma con la ecuación (4):

_______________

Por lo tanto el sistema escrito en forma triangular es:

Para obtener la solución se determina el valor de y:

Para determinar el valor de w se sustituye el valor en la ecuación que tiene dos incógnitas:

Para encontrar el valor de x, se sustituyen los valores de y y w en la ecuación que contiene a las tres incógnitas:

.

Por lo tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 2, w = 3

Sesión 6

Actividad Inicial

Si se tiene la ecuación lineal: 3x + 4y = 7, ¿es más sencillo despejar la x o la y? ____. Realiza su despeje.

Si se tiene una ecuación no lineal: x2 + y2 = 9, ¿es más sencillo despejar la x o la y? ____. Realiza su despeje.

Sistemas de ecuaciones de 2 x 2, con una ecuación lineal y otra cuadrática:

En este tema se trata de obtener la solución de un sistema de ecuaciones formado por una ecuación lineal y otra cuadrática:

Ejemplo

Tabula y grafica el siguiente sistema en un mismo plano.

y = 2x +1 (1)

y = x2 – 2 (2)

Solución

Al tabular y graficar se obtendrá una gráfica similar a la siguiente:

Representación gráfica de y = 1 + 2x y y = x2 – 2.

La gráfica de la primera expresión representa una función lineal y la gráfica de la segunda expresión representa una función cuadrática.

1. En la gráfica, ¿cuántos puntos de intersección observas?

2. ¿Cuáles son los puntos de intersección que observas entre la parábola y la recta graficadas?

3. ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos?

A continuación se presenta la solución algebraica del sistema:

y – 2x = 1 … (1)

y – x2 = - 2 … (2)

Solución:

De los diversos métodos que existen para resolver este tipo de sistemas, el que se emplea con mayor frecuencia es el método de sustitución.

Si de la ecuación (1) se despeja y:

y = 1 + 2x

Al sustituir el valor de y en la ecuación (2), se obtiene:

1 + 2x – x2 = - 2

Reordenándola se puede escribir como:

x2 – 2x – 3 = 0

Al factorizarla se obtiene:

(x – 3) (x + 1) = 0

Por lo tanto, las soluciones son: y

En la solución de la ecuación cuadrática se obtienen dos valores para la variable x. Para saber si los valores encontrados son soluciones del sistema se sustituyen estos valores en las dos ecuaciones:

Al sustituir en la ecuación (1):

x = 3 x = -1

y – 2(3) = 1 y – 2(- 1) = 1

y – 6 = 1 y + 2 = 1

y = 1 + 6 y = 1 – 2

y = 7 y = - 1

Al sustituir en la ecuación (2):

x = 3 x = -1

y – (3)2 = - 2 y – (-1)2 = - 2

y – 9 = - 2 y – 1 = - 2

y = -2 + 9 y = -2 + 1

y = 7 y = - 1

Por lo tanto, las soluciones del sistema son: y

Verifica que estos valores corresponden a las coordenadas de los puntos de intersección entre la recta y la parábola.

Serie de ejercicios 4

1.- Elabora la grafica del siguiente sistema y escribe las coordenadas de

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