MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE EL CONCEPTO DE SERIE NUMÉRICA
Enviado por Jorge Escobar • 12 de Julio de 2016 • Documentos de Investigación • 1.151 Palabras (5 Páginas) • 286 Visitas
CÁLCULO INTEGRAL
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE EL CONCEPTO DE SERIE NUMÉRICA
CONCEPTO DE SERIE NUMÈRICA
Las sumas que aprendemos a realizar en la escuela primaria constan siempre de un número finito de sumandos. Las series numéricas permiten generalizar esta operación al caso de un número infinito de sumandos.
De acuerdo con esta idea, para construir una serie numérica es necesario, en primer lugar, partir de una lista o sucesión infinita de números (no necesariamente diferentes) que constituirán los sumandos que se sumarán a través de la serie, y en la cual es posible distinguir con toda claridad cuál es el primer elemento de la lista, cuál el segundo, cuál el tercero, y así, sucesivamente.
Por ejemplo, la lista [pic 1] define una sucesión numérica, cuyo término general es [pic 2].
Son también sucesiones numéricas las listas
[pic 3]
cuyos términos generales son, respectivamente, [pic 4], [pic 5], [pic 6].
Inversamente, la sucesión cuyo término general es [pic 7]es la lista de números [pic 8].
Es importante destacar que no siempre es fácil identificar cuál es el término general de una sucesión numérica. De hecho, existen famosas sucesiones numéricas dentro de las matemáticas cuyo término general hasta el día de hoy no ha podido ser descubierto, como es el caso de la sucesión de los números primos
A partir de cualquier sucesión numérica [pic 9] es posible definir una serie numérica planteando la suma de sus términos, es decir, mediante la expresión [pic 10], que de manera compacta puede escribirse en la forma [pic 11].
Las series numéricas pueden ser de dos tipos diferentes: convergentes o divergentes.
La serie numérica [pic 12]será convergente o divergente en dependencia del comportamiento de otra sucesión numérica, denominada sucesión de sumas parciales de la serie. Esta sucesión, que denotaremos mediante el símbolo [pic 13], se construye del siguiente modo:
[pic 14]
y así sucesivamente. En general, [pic 15]
Si a medida que [pic 16]aumenta los términos de la sucesión [pic 17]se aproximan infinitamente a un valor numérico finito (es decir, si existe [pic 18]), se dice que la serie numérica [pic 19] converge (o que es convergente) y, en tal caso, el valor de dicho límite se asume como el resultado de la suma infinita que la serie plantea.
En caso contrario, se dice que la serie diverge (o que es divergente)
Ejemplos:
- Consideremos la serie [pic 20]
Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
[pic 21]
Del comportamiento de estos términos es posible inferir que, en general, [pic 22].
Como [pic 23], se tiene que [pic 24], lo cual permite concluir que la serie [pic 25] es convergente, y que su suma es 1.
- Consideremos la serie [pic 26]
Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
[pic 27]
Del comportamiento de estos términos es posible inferir que, en general, [pic 28].
Como [pic 29], se tiene que [pic 30], lo cual permite concluir que la serie [pic 31] es convergente, y que su suma es 1.
- Consideremos la serie [pic 32]
Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
[pic 33]
Ya aquí no resulta tan fácil inferir a simple vista cuál es la expresión del término general de esta sucesión. Para solucionar este problema, descompongamos la fracción [pic 34] como suma de fracciones parciales. Al aplicar el procedimiento establecido, se obtiene que [pic 35], lo cual permite escribir la igualdad [pic 36].
Si escribimos ahora los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de la serie que aparece a la derecha de esta igualdad, obtenemos que:
...