MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

1. Movimiento armónico simple.Vamos

estudiar el movimiento de objetos sometidos a fuerzas restauradoras (de tipo elástico), como las producidas por

un muelle o las que experimenta un átomo dentro de un sólido cristalino cuando se desplaza de su posición de

equilibrio.

Sea una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k:

: (ley de Hooke)

Por la segunda ley de Newton, si no hay más fuerzas sobre el

cuerpo:

La aceleración (fuerza) es proporcional a la distancia al punto de equilibrio. La solución a esta ecuación es una función

periódica:

A: amplitud (máxima elongación);

w: frecuencia angular;

d: fase.

Significado de w: cuando wT = 2p, el valor de x se repite:

: frecuencia angular

T : periodo

: frecuencia.

La fase d se utiliza para poder definir nuestro instante t = 0.

 ¡la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud!

2. Péndulo simple.Un

péndulo simple describe oscilaciones que son armónicas simples sólo si son de pequeña amplitud.

s  camino a recorrer por la pesa del péndulo

Separamos las fuerzas en sus componentes tangencial y normal; la

primera es la que produce el movimiento:

En el límite de pequeñas oscilaciones (q  0):

Ésta es la ecuación del movimiento armónico simple, con frecuencia angular =g/ L :

Ajuste de un reloj de péndulo: se modifica el periodo de oscilación

variando la longitud de la pesa.

Si la amplitud de las oscilaciones no es pequeña, el movimiento del péndulo no es armónico simple porque la

aproximación sen ≃ no vale; sin embargo, sigue siendo periódico.

3. Movimiento cerca de equilibrio.Nos

interesa estudiar el movimiento armónico simple porque:

✔ es sencillo; puede resolverse exactamente;

✔ puede aplicarse a muchos problemas.

Una partícula en equilibrio se encuentra en un mínimo de energía

potencial; por la condición de mínimo:

Haciendo el desarrollo en serie de Taylor de la función U(x):

,

de modo que si x ~ x0  (x x0)

3 y los términos superiores son despreciables; así, el problema puede resolverse como si

se tratara de un movimiento armónico simple .

4. Oscilaciones amortiguadas.Sea,

por ejemplo, un objeto sumergido en un fluido, con una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad:

Aplicando la ley de Newton:

El término Mg es constante, por lo que podemos eliminarlo mediante un cambio de

variable:

La solución es:

Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial, comprobamos que:

g da el amortiguamiento, y en general:

Cuando b = 0, recuperamos el caso del

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