Mapa de Mercator de 1569

Proyección de Mercator

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Mapa de Mercator de 1569.

Comparación, en una proyección Mercator del Atlántico Norte, del rumbo loxodrómico (según puntos cardinales, línea recta en el mapa) frente al ortodrómico (según círculo máximo terrestre o distancia más corta, curva en el mapa)

La proyección de Mercator es un tipo de proyección cartográfica cilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para elaborar mapas de la superficie terrestre. Ha sido muy utilizada desde el siglo XVIII para cartas náuticas porque permitía trazar fácilmente las rutas de rumbo constante o loxodrómicas como líneas rectas.

Mercator, mediante proyección, pretende representar la superficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica, tangente al ecuador, que al desplegarse genera un mapa terrestre plano.

Es un modelo idealizado que trata a la Tierra como un globo hinchable que se introduce en un cilindro y que empieza a «inflarse» ocupando el volumen del cilindro, imprimiendo el mapa en su cara exterior. Este cilindro cortado longitudinalmente y desplegado sería parecido al mapa con la proyección de Mercator.

La proyección Mercator no conserva las relaciones entre áreas para valores distintos de latitud. Por ello los mapamundis realizados según esta proyección exageran la superficie aparente de las tierras situadas cerca de los polos norte y sur.

Índice [ocultar]

1 Matemática de la proyección

2 Derivación de la proyección

3 Controversia

4 Uso actual en la web

5 Véase también

6 Notas

7 Enlaces externos

Matemática de la proyección[editar]

Relación entre la posición vertical en el mapa (horizontal en el gráfico) y latitud (vertical en el gráfico).

Las siguientes ecuaciones determinan las coordenadas (x,y) de un punto en el mapa en proyección Mercator a partir de su latitud φ y longitud λ (siendo λ0 la longitud central del mapa):

\begin{align} x &= \lambda - \lambda_{0} \\ y &= \ln{\left[ \tan{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right)} \right]} \\ &= \frac{1}{2} \ln{\left( \frac{1 + \mathrm{sen} \, \phi}{1 - \mathrm{sen} \, \phi} \right)} \\ &= \mathrm{senh}^{-1}{(\tan{\phi})} \\ &= \tanh^{-1}{(\mathrm{sen} \, \phi)} \\ &= \ln{(\tan{\phi} + \sec{\phi} )} \end{align}

Esta es la inversa de la función de Gudermann:

\begin{align} \phi & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\ & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\ \lambda & = x $ \lambda_0 \\ \end{align}

La escala es proporcional a la secante de la latitud φ, haciéndose extremadamente grande cerca de los polos. En el polo mismo φ = 90° o -90°. Como se deduce de las fórmulas, el valor para y en los polos es +/- infinito.

Derivación de la proyección[editar]

Asumiendo que la Tierra tiene forma esférica, (en realidad se parece más a un elipsoide levemente achatado en los polos y con otras leves deformaciones, pero para mapas de pequeña escala la diferencia es irrelevante), se busca transformar del sistema longitud-latitud (λ,φ) al sistema cartesiano (x,y) que es "un cilindro tangente al ecuador" (p.e. x=λ) y conforme, tal que:

La proyección Mercator es una proyección cilíndrica.

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\phi) \frac{\partial y}{\partial \phi}

\frac{\partial y}{\partial \lambda}

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