Maquina De Galton

TEMA:

Máquina de Galton

GUAYAQUIL-ECUADOR

Índice

Introducción 3

Resumen 3

Capítulo I 4

• Planteamiento del problema 4

• Formulación del problema. 4

• Objetivos Generales. 5

• Objetivos Específicos. 5

• Justificación e importancia 5

Capítulo II 6

• Marco teórico. 6

• Antecedentes del estudio. 6

• Fundamentación teórica. 7

Capítulo III 8

• Metodología 8

• Materiales 8

• Herramientas 9

• Proceso de construcción 9

Capítulo IV 10

• Análisis e interpretación de resultados 10

• Campanas de Glauss 10

• conclusión 10

Referencias Bibliográficas 11

Anexos. 12-13-14

INTRODUCCIÓN

El siguiente proyecto nos permite aplicar una rama de las matemáticas en nuestro cotidiano vivir. Nos permitirá realizar cálculos aproximados para tomar decisiones relativas de eventos aleatorios. Incertidumbre un tema muy usado, pero poco conocido.

En la actualidad la distribución binomial, probabilidades entre otros, son herramientas muy necesitadas para obtener posibles respuestas a dichos eventos

En 1840, Sir Francis Galton partió de una distribución discreta continua a la distribución normal, Galton invento la maquina llamada QUINCUNX (máquina de Galton)

Actualmente los gobiernos de cada país recolectan sistemáticamente datos relativos a su población, economía, recursos naturales, etc.

Para poder elaborar una planificación la cual vaya en función de las estadísticas, para lo cual se toma en cuenta todos los casos posibles, es decir de cuantas formas puede ocurrir una determinada situación, los casos favorables de ocurrencia de dichos eventos serán los que cumplan con la condición que estamos buscando la probabilidad, toma valores que pueden ir desde (0% a 100%).

RESUMEN

El aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en un casillero final.

Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se obtienen así los números del triángulo de Pascal.

CAPITULO I

EL PROBLEMA

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En estadística y probabilidad se llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La distribución normal recibe el nombre de Distribución de Gauss (excepto en Francia,que se la conoce como Distribución de Laplace).

La gráfica de su función de densidad se reconoce enseguida por su forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro (por lo que también recibe el nombre de Campana de Gauss). En la segunda mitad del siglo XIX, Galton construyó su famosa máquina «Quincunx», la cual estaba formada por una tabla vertical en la que había una serie de filas de clavos intercalados unos con otros a modo de triángulo de Pascal.

La aplicación de este artefacto es visualizar la distribución normal al dejar caer un total de 800 bolitas. La máquina de Galton construida por nosotros tiene 9 niveles, por lo que genera una distribución multinomial para 10 cajas. Las probabilidades teóricas de las 10 clases para las condiciones del Quincunx original serían: (1/800, 9/800, 36/800, 84/800, 126/800, 126/800, 126/800, 84/800, 36/800, 9/800 y 1/800).

A través de la aplicación informática hemos calculado que teóricamente sólo a partir de 500000 bolas se aprecia una simetría casi absoluta, por lo que 800 bolitas de la máquina original se quedan muy cortas. Nuestra investigación consiste en realizar un número suficiente de ensayos como para validar empíricamente la máquina de Galton.

Palabras claves: azar, estadística, Gauss, Galton, Pascal

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

OBJETIVO GENERAL

Demostrar las diferentes teorías y formas de cómo la máquina de Galton funciona, es decir, el método de como la bolilla va tomando camino a través de aquellos clavos que rozan hasta que llega al último nivel y se observara que no siempre va a caer en la misma posición que fue arrojada, formándose así lo que se denomina como “campana de Gauss”.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Tomaremos en cuenta cada una de las hipótesis y fórmulas para demostrar cada punto que detallaremos para el estudio de la máquina de Galton con las teorías de combinatorias y probabilidades.

• Distribución de probabilidades

• Distribución binominal

• Números combinatorios del triángulo de Pascal

• Relación entre los números triangulares y números tetraédricos

JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA

La máquina de Galton consiste en una máquina que representara en sus troneras la campana de Gauss, es decir representa una distribución normal. Lo que se debe hacer es tirar una cantidad “x” de bolas en dicha máquina que está realizada con una serie de triángulos equiláteros (una más pequeño que el otro según las medidas acordadas con la distancia entre los clavos) y unas troneras donde van a ser depositadas las bolas formando dicha distribución. Las “x” bolas chocaran con el primer clavo teniendo una probabilidad de ½ de ir hacia la izquierda o hacia la derecha, y así sucesivamente con los otros clavos. Ya que al haber más clavos por el medio, habrá más caminos para llegar a este y así mismo habrá más probabilidad en las troneras del medio que en las exteriores.

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

Antecedentes del Estudio

La máquina de Galton, también conocida como quincuence, es un dispositivo inventado por Sir Francis Galton, para demostrar que la distribución binomial se aproxima a la Distribución normal. Está constituida con una tabla con numerosas filas de clavos intercalados sucesivamente que evocan al triángulo de Pascal. Desde la parte superior se dejan caer bolas que votan a la izquierda o a la derecha, en forma aleatoria, cuando chocan con los clavos. En el fondo, las bolas son coleccionadas en recipientes verticales, Se cuenta el número de canicas en cada celda y se calcular la frecuencia relativa, se tiene una aproximación al valor de probabilidad

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